Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 31046

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a,  AD = 2√2. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD theo a

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2√2. Hình chiế

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a,  AD = 2√2. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 450. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD theo a


A.
V = \frac{\sqrt{2}}{3}a3; d = \frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
B.
V = \frac{4\sqrt{3}}{3}a3; d = \frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
C.
V = \frac{4\sqrt{2}}{3}a3; d = \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
D.
V = \frac{4\sqrt{3}}{3}a3; d= \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

 

Gọi H là trọng tâm tam giác BCD.

Theo giả thiết SH ⊥ (ABCD) 

Gọi O = AC ∩ BD => CH = \frac{2}{3} .CO = \frac{1}{3}.AC = a

SA tạo với đáy góc 450 suy ra \widehat{SAH} = 450

=> SH = AH = 2a 

Gọi V là thể tích của khối hộp S.ABCD thì

  V = \frac{1}{3}.SABCD.SH = \frac{1}{3}.a.2√2.a.2a = \frac{4\sqrt{2}}{3}.a3

Gọi M là trung điểm của SB . Mặt phẳng (ACM) chứa AC và //SD. Do đó

d(SD; AC) = d(SD; (ACM)) = d(D; (ACM)). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Trong đó A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; 2√2; 0), S(\frac{2a}{3};\frac{4\sqrt{2}}{3}.a; 2a), C(a; 2√2a; 0) 

và M(\frac{5a}{6};\frac{2\sqrt{2}a}{3}; a)

 \overline{AC} = (a; 2√2a; 0)\overline{AM}=(\frac{5a}{6};\frac{2\sqrt{2}a}{3};a)\Rightarrow \overline{AC}\wedge \overline{AM}=(2\sqrt{2}a^{2};-a^{2};-\sqrt{2}a^{2})

Mặt phẳng (ACM) đi qua điểm A và có vecto pháp tuyến  \overrightarrow{n} = (2√2; -1; -√2)  nên có phương trình là 2√2.x - y - √2z = 0 

=> d\Rightarrow d(D;(ACM))=\frac{\begin{vmatrix} -2\sqrt{2}a \end{vmatrix}}{\sqrt{8+1+2}}=\frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{11}}

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết