Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 296

Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.


A.
M(1+√2; 1+√2), M(1-√2; 1-√2)
B.
M(1+√2; 1-√2), M(1-√2; 1+√2)
C.
M(1+√3; 1+√3), M(1-√3; 1-√3)
D.
M(1+√3; 1-√3), M(1-√3; 1+√3)
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

a) Học sinh tự giải.

b) Giả sử M\left(x_{0};\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}\right) ∈ (C).

Khi đó, khoảng cách từ M đến ∆1: 2x + y - 4 = 0 là \frac{\left|2x_{0}+\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}-4\right|}{\sqrt{5}}

= \frac{\left|2x_{0}+\frac{2}{x_{0}-1}-3\right|}{\sqrt{5}} ; khoảng cách từ M đến ∆2: x + 2y – 2 = 0 là \frac{\left|x_{0}+2\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}-2\right|}{\sqrt{5}} = \frac{\left|x_{0}+\frac{4}{x_{0}-1}\right|}{\sqrt{5}}.

Suy ra tổng khoảng cách là d = \frac{\left|2x_{0}+\frac{2}{x_{0}-1}-3\right|}{\sqrt{5}}+\frac{\left|x_{0}+\frac{4}{x_{0}-1}\right|}{\sqrt{5}}

= \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left|2x_{0}+\frac{2}{x_{0}-1}-3\right|+\left|x_{0}+\frac{4}{x_{0}-1}\right|\right)                               \geq \frac{1}{\sqrt{5}}\left|2x_{0}+\frac{2}{x^{_{0}}-1}-3+x_{0}+\frac{4}{x_{0}-1}\right|

= \frac{3}{\sqrt{5}}\left|x_{0}-1+\frac{2}{x_{0}-1}\right|          (1)

= \frac{3}{\sqrt{5}}\left(\left|x_{0}-1\right|+\left|\frac{2}{x_{0}-1}\right|\right)

= \frac{3}{\sqrt{5}}\left(\left|x_{0}-1\right|+\frac{2}{\left|x_{0}-1\right|}\right) \geq \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{5}}.          (2)

Dấu đẳng thức xảy ra ở (2) ⇔ \left|x_{0}-1\right|^{2} = 2 ⇔ \begin{bmatrix}x_{0}=1+\sqrt{2}\\x_{0}=1-\sqrt{2}\end{bmatrix}.

Khi đó (1) xảy ra dấu đẳng thức nên dmin = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{5}} khi và chỉ khi x0 = 1 ± √2.

Từ đó ta suy ra điểm M thỏa mãn bài ra là M(1+√2; 1+√2), M(1-√2; 1-√2).

 

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết