Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 346

Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.


A.
Giá trị nhỏ nhất của P là \sqrt[3]{4}, đạt được khi x = \sqrt[3]{4}, y = z = 0.
B.
Giá trị nhỏ nhất của P là \sqrt[3]{4}, đạt được khi x = \sqrt[3]{2}, y = z = 0.
C.
Giá trị nhỏ nhất của P là \sqrt[3]{4}, đạt được khi x = \sqrt[3]{5}, y = z = 0.
D.
Giá trị nhỏ nhất của P là \sqrt[3]{4}, đạt được khi x = \sqrt[3]{7}, y = z = 0.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết x3 + y3 + z3 = 2 + 3xyz

⇔ (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = 2

⇔ (x + y + z)[\frac{3}{2}(x2 + y2 + z2) - \frac{1}{2}(x + y + z)2] = 2.

Đặt t = x + y + z. Khi đó t>0 và x2 + y2 + z2 = \frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t}.

Xét hàm f(t) = \frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t} trên (0; +∞).

Ta có f'(t) = \frac{2}{3}t - \frac{4}{3t^{2}}, f'(t) = 0 ⇔ t = \sqrt[3]{2} và \lim_{t\rightarrow0^{+}}f(t) = \lim_{t\rightarrow+\infty}f(t) = +∞.

Do đó \min_{t\epsilon\left(0;+\infty\right)}f(t) = f(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{4}, đạt được khi t = \sqrt[3]{2}.

Ta có P ≥ x2 + y2 + z2 ≥ \sqrt[3]{4}.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = \sqrt[3]{2}, y = z = 0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \sqrt[3]{4}, đạt được khi x = \sqrt[3]{2}, y = z = 0.

Nhận xét. Để chứng minh \frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t} ≥ \sqrt[3]{4} ta có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương.

Thật vậy: \frac{t^{2}}{3}+\frac{4}{3t} = \frac{t^{2}}{3} + \frac{2}{3t} + \frac{2}{3t} ≥ 3\sqrt{\frac{t^{2}}{3}.\frac{2}{3t}.\frac{2}{3t}} = \sqrt[3]{4}.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \frac{t^{2}}{3} = \frac{2}{3t} ⇔ t = \sqrt[3]{2}.

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết