Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 376

Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

Câu hỏi

Nhận biết

Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).


A.
Hệ số của x8 là -27156.
B.
Hệ số của x8 là -27157.
C.
Hệ số của x8 là -27158.
D.
Hệ số của x8 là -27159.
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180

⇔ n(n - 1)n = 180 ⇔ (n - 6)(n2 + 5n + 30) = 0 ⇔ n = 6.

Khi đó \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{12} = \left[x^{4}-\left(1-\frac{1}{x}\right)\right]^{12}

= \sum_{k=0}^{12}C^{k}_{12}\left(x^{4}\right)^{12-k}.\left(-1\right)^{k}.\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k}

= \sum_{k=0}^{12}C^{k}_{12}x^{48-4k}.\left(-1\right)^{k}.\sum_{i=0}^{k}C^{i}_{k}\left(-\frac{1}{x}\right)^{i}

= \sum_{k=0}^{12}\sum_{i=0}^{k}C^{k}_{12}.C^{i}_{k}\left(-1\right)^{k+i}x^{48-4k-i}.

Số hạng tổng quát chứa x8 ⇔ 48 - 4k - i = 8 với 0 ≤ i ≤ k ≤ 12

⇔ \left\{\begin{matrix}4k+i=40\\0\leq i\leq k\leq 12\end{matrix}\right ⇔ \begin{bmatrix}i=0,k=10\\i=4,k=9\\i=8,k=8\end{bmatrix}.

Suy ra hệ số của x8 là C^{10}_{12}.C^{0}_{10} - C^{9}_{12}.C^{4}_{9} + C^{8}_{12}.C^{8}_{8} = -27159

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết