Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left| {x - 1} \right|^3} - 3x - k < 0\\\frac{1}{2}{\log _2}{x^2} + \frac{1}{3}{\log _2}{\left( {x - 1} \right)^3} \le 1\end{array} \right.\)
Câu hỏi
Nhận biếtTìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left| {x - 1} \right|^3} - 3x - k < 0\\\frac{1}{2}{\log _2}{x^2} + \frac{1}{3}{\log _2}{\left( {x - 1} \right)^3} \le 1\end{array} \right.\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Luyện Tập 365
Điều kiện: x>1 (*)
Với đk (*) ta có:
Bpt (2) tương đương:
\(\begin{array}{l}
{\log _2}\sqrt {{x^2}} + {\log _2}\sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} \le 1 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) \le 2\\
\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2 \Leftrightarrow 1 < x \le 2
\end{array}\)
Với \(1 < x \le 2\) pt (1) tương đương:
\({\left( {x - 1} \right)^3} - 3x - k < 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 - k < 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - 1 < k\)
Xét \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 1\) trên (1;2]
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên: (hs tự vẽ)
=> Từ BBT suy ra bpt (1) có nghiệm trên (1;2] khi và chỉ khi \(k \ge \mathop {\min }\limits_{\left( {1;2} \right]} f\left( x \right) \Leftrightarrow k \ge - 5\)
Điều kiện: x>1 (*)
Với đk (*) ta có:
Bpt (2) tương đương:
\(\begin{array}{l}
{\log _2}\sqrt {{x^2}} + {\log _2}\sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} \le 1 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) \le 2\\
\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 2 \Leftrightarrow 1 < x \le 2
\end{array}\)
Với \(1 < x \le 2\) pt (1) tương đương:
\({\left( {x - 1} \right)^3} - 3x - k < 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 - k < 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - 1 < k\)
Xét \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 1\) trên (1;2]
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên: (hs tự vẽ)
=> Từ BBT suy ra bpt (1) có nghiệm trên (1;2] khi và chỉ khi \(k \ge \mathop {\min }\limits_{\left( {1;2} \right]} f\left( x \right) \Leftrightarrow k \ge - 5\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Giải hệ phương trình
(x, y
R) -
Cho các số thực x,y thỏa mãn x
+ y
= 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
-12(x-1).(y-1)+√xy. -
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử). -
Giải phương trình:
-
Cho hàm số y =
. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất. -
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:
, d2: 
= 
= 
. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2. -
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=
BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. -
Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.