Giải hệ phương trình ![\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1}-\sqrt{y^{4}+2}=y\\x^{2}+2x(y-1)+y^{2}-6y+1=0\end{matrix}\right.](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1222/12608_745308_1.gif)
(x, y ∈R).
Câu hỏi
Nhận biếtGiải hệ phương trình (x, y ∈R).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Luyện Tập 365
![\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x-1}-\sqrt{y^{4}+2}=y(1)\\x^{2}+2x(y-1)+y^{2}-6y+1=0(2)\end{matrix}\right.](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1222/v12377_914990_1.gif)
Điều kiện: x ≥ 1. Từ (2) ta được 4y = (x + y – 1)2, suy ra y ≥ 0 .
Đặt u = ![\sqrt[4]{x-1}](https://luyentap365.com/wp-content/picture/learning/exam/2013/1222/v12377_558958_2.gif)
, suy ra u ≥ 0. Phương trình (1) trở thành: 
+ u = 
+ y (3).
Xét f(t) = 
+ t, với t ≥ 0. Ta có f’(t) = 
+ 1, ∀t ≥ 0.
Do đó phương trình (3) tương đương với y = u, nghĩa là x = y4 + 1.
Thay vào phương trình (2) ta được y(y7 + 2y4 + y – 4) = 0 (4)
Hàm g(y) = y7 + 2y4 + y – 4 có g’(y) = 7y6 + 8y3 + 1 > 0 với mọi y ≥ 0.
Mà g(1) = 0, nên (4) có hai nghiệm không âm là y = 0 và y = 1.
Với y = 0 ta được nghiệm (x; y) = (1;0 ); với y = 1 ta được nghiệm (x;y) = (2;1).
Vậy nghiệm (x;y) của hệ đã cho là (1;0) và (2;1).
Điều kiện: x ≥ 1. Từ (2) ta được 4y = (x + y – 1)2, suy ra y ≥ 0 .
Đặt u = , suy ra u ≥ 0. Phương trình (1) trở thành: + u = + y (3).
Xét f(t) = + t, với t ≥ 0. Ta có f’(t) = + 1, ∀t ≥ 0.
Do đó phương trình (3) tương đương với y = u, nghĩa là x = y4 + 1.
Thay vào phương trình (2) ta được y(y7 + 2y4 + y – 4) = 0 (4)
Hàm g(y) = y7 + 2y4 + y – 4 có g’(y) = 7y6 + 8y3 + 1 > 0 với mọi y ≥ 0.
Mà g(1) = 0, nên (4) có hai nghiệm không âm là y = 0 và y = 1.
Với y = 0 ta được nghiệm (x; y) = (1;0 ); với y = 1 ta được nghiệm (x;y) = (2;1).
Vậy nghiệm (x;y) của hệ đã cho là (1;0) và (2;1).
Câu hỏi liên quan
-
Giải phương trình:
-
Cho hàm số y =
. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất. -
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.
-
Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=
+
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=
+
+2(x+1)(y+1)+8
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:
, d2: 
= 
= 
. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2. -
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
-
Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của
, biết rằng n thỏa mãn 
.
= 180. (
, 
lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).