Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16882

Với n nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng: frac{1}{1^{2}} + frac{1}{2^{2}} + … + frac{1}{n^{2}} < frac{5}{3}

Với n nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng:

Câu hỏi

Nhận biết

Với n nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng: frac{1}{1^{2}} + frac{1}{2^{2}} + … + frac{1}{n^{2}} < frac{5}{3}


A.
frac{1}{k^{2}} < 2(frac{1}{2k-1} + frac{1}{2k+1}).
B.
frac{1}{k^{2}} < 2(- frac{1}{2k-1} + frac{1}{2k+1}).
C.
frac{1}{k^{2}} < 2(- frac{1}{2k-1} - frac{1}{2k+1}).
D.
frac{1}{k^{2}} < 2(frac{1}{2k-1} - frac{1}{2k+1}).
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Với k > 1 ta có :

frac{1}{k^{2}} = frac{4}{4k^{2}} < frac{4}{4k^{2-1}} =  frac{4}{(2k-1)(2k+1)} = 2(frac{1}{2k-1} - frac{1}{2k+1})

Do đó : frac{1}{k^{2}} < 2(frac{1}{2k-1} - frac{1}{2k+1})

Suy ra:

frac{1}{1^{2}} + frac{1}{2^{2}}  + …+ frac{1}{n^{2}}< 1 + 2(frac{1}{3} - frac{1}{5}) + 2(frac{1}{5} - frac{1}{7}) + … + 2(frac{1}{2n-1} - frac{1}{2n+1})

⇔ frac{1}{1^{2}} + frac{1}{2^{2}} + …+ frac{1}{n^{2}} < 1 + 2(frac{1}{3} - frac{1}{2n+1}) < 1 + frac{2}{3} = frac{5}{3}

Vậy frac{1}{1^{2}} + frac{1}{2^{2}} + … + frac{1}{n^{2}} < frac{5}{3} (đpcm).

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết