Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 6043

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho đường tròn (C) có phương trình:                  x2 + y2 -2x + 2y – 10 = 0 và cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho \widehat{MA} =  -2\widehat{MB}.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho đường tròn (C) có phương

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: 
                x2 + y2 -2x + 2y – 10 = 0 và cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho \widehat{MA} =  -2\widehat{MB}.


A.
      d2 : \frac{x-1+2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{y+1}{3};  d3 : \frac{x-1-2\sqrt{3}}{-3\sqrt{3}}  = \frac{y+3}{6}   
B.
      d2 : \frac{x-1+2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{y+1}{6};  d3 : \frac{x-1-2\sqrt{3}}{-3\sqrt{3}}  = \frac{y+1}{3}   
C.
               d2 : \frac{x-1+2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{y+1}{3};  d3 : \frac{x-1-2\sqrt{3}}{-3\sqrt{3}}  = \frac{y+1}{3}                                                              
D.
           d2 : \frac{x-1+2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{y+1}{3};  d3 : \frac{x-1-2\sqrt{3}}{-3\sqrt{3}}  = \frac{y+1}{6}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

A (x1;  y1) ∈ (C) => x12 + y12 – 2x1 + 2y1 = 10 (*)

B(x2; y2) ∈ (C) => x22 + y22 – 2x2 + 2y2 = 10   (**)

Mà \overrightarrow{MA} = -2\overrightarrow{MB} ⇔ \left\{\begin{matrix} 1-x_{1}=-2(1-x_{2})\\1-y_{1}=-2(1-y_{2}) \end{matrix}\right. 

⇔ \left\{\begin{matrix} x_{1}=-2x_{2}+3\\y_{1}=-2y_{2}+3 \end{matrix}\right.

Thay vào (*): (3 – 2x2)2 + (3 – 2y2)2 – 2(3 – 2x2)2 + 2(3 – 2y2) – 10 = 0

   4x22 + 4y22 – 12x2 – 12y2 + 4x2 – 4y2 + 8 = 0

⇔ 4(x22 + y22 – 2x2 + 2y2 – 10) – 24yz + 48 = 0.

Vậy ta được y2 = 2; y1 = -1

 Tiếp tục thay vào (**)

Với y2 = 2 thì ta được x22 – 2x2 – 2 = 0

=> \begin{bmatrix} x_{2}=1-\sqrt{3}\\x_{2}=1+\sqrt{3} \end{bmatrix}  

Với y2 = -1 thì ta được 

x12 – 2x1 – 11 = 0

=> \begin{bmatrix} x_{1}=1-\sqrt{3}\\x_{1}=1+\sqrt{3} \end{bmatrix}

Ta có các điểm: B1(1 - √3; 2), B2( 1 + √3; 2) A1(1 - 2√3; -1), A2(1 + 2√3; -1) Ta có 4 đường thẳng:

A1B1 =  \left\{\begin{matrix} A_{1}(1-\sqrt{3};2)\\\overrightarrow{A_{1}B_{2}}=(\sqrt{3};3) \end{matrix}\right. => A1B1 : \frac{x-1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{y-2}{3}        (d1)

A1B2 = \left\{\begin{matrix} A_{1}(1-2\sqrt{3};-1)\\\overrightarrow{A_{1}B_{2}}=(3\sqrt{3};3) \end{matrix}\right. => A1B2 : \frac{x-1+2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{y+1}{3}     (d2)

A2B1 = \left\{\begin{matrix} A_{2}(1+2\sqrt{3};-1)\\\overrightarrow{A_{1}B_{2}}=(-3\sqrt{3};3) \end{matrix}\right. => A2B1 : \frac{x-1-2\sqrt{3}}{-3\sqrt{3}} = \frac{y+1}{3} (d3)

A2B2 =  \left\{\begin{matrix} B_{2}(1+\sqrt{3};2)\\\overrightarrow{A_{2}B_{2}}=(-\sqrt{3}; 3) \end{matrix}\right.   => A2B2 : \frac{x-1-\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}  = \frac{y-2}{3}   (d4)

Thử lại chỉ có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là: d2 và  d3) ( hai đường thẳng còn lại không đi qua điểm M(1; 1) nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán).

Phương trình của các đường thẳng cần tìm là:

               d2 : \frac{x-1+2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{y+1}{3}  

và

               d3 : \frac{x-1-2\sqrt{3}}{-3\sqrt{3}}  = \frac{y+1}{3}              

                

   

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết