Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 57756

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ 2(1-x)\sqrt{x^{2}+x+1}+xy +3x -1=0 \end{matrix}\right. (x, y ∊ R)

Giải hệ phương trình:  (x, y ∊ R)

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ 2(1-x)\sqrt{x^{2}+x+1}+xy +3x -1=0 \end{matrix}\right. (x, y ∊ R)


A.
(x;y) = (\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{13}}{2});(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{1-\sqrt{13}}{2});(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6})
B.
(x;y) = (\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{13}}{2});(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{1-\sqrt{13}}{2})
C.
(x;y) = (\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{1-\sqrt{13}}{2});(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6})
D.
(x;y) = (\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{13}}{2});(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6})
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

(1) ,=> x + \sqrt{1+x^{2}}} = -y + \sqrt{1+y^{2}}

Xét hàm số f(u) = u + \sqrt{1+u^{2}}

Ta có f'(u) = 1 + \frac{u}{\sqrt{1+u^{2}}} = \frac{\sqrt{1+u^{2}}+u}{\sqrt{1+u^{2}}}>\frac{\left | u \right |+u}{\sqrt{1+u^{2}}}\geq 0\forall u

=> hàm số f(u) đồng biến trên R

PT(1) có dạng f(x) = f(-y) <=> x = -y

thay y =-x vào PT thứ (2) của hệ ta được:

2(1-x) \sqrt{x^{2}+x+1}= x2 -3x+1

Đặt t = \sqrt{x^{2}+x+1} => x2 = t2 - x -1

PT trở thành t2 - 2(1-x)t - 4x = 0 => \begin{bmatrix} t=2\\ t=-2x \end{matrix}

Với t=2 ,=> \sqrt{x^{2}+x+1} =2 <=>  x2  +x +3 =0 <=< x= \frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}

Với t= 02x <=> \sqrt{x^{2}+x+1} = -2x <=> \left\{\begin{matrix} x<0\\ 3x^{2}-x-1=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x<0\\ x = \frac{1\pm \sqrt{13}}{6} \end{matrix}\right.  <=> x = \frac{1-\sqrt{13}}{6}

Vậy nghiệm của hệ là (x;y) = (\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{1+\sqrt{13}}{2});(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{1-\sqrt{13}}{2});(\frac{1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6})

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết