Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 65201

Chuyên thái nguyên (2012 - 2013) Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, gọi H là trung điểm của cạnh AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60^{\circ}. 1)Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 2) Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.HDC

Chuyên thái nguyên (2012 - 2013) Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh

Câu hỏi

Nhận biết

Chuyên thái nguyên (2012 - 2013)

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, gọi H là trung điểm của cạnh AD, biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60^{\circ}.

1)Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

2) Tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.HDC


Đáp án đúng:

Lời giải của Luyện Tập 365

1) Do SH vuông (ABCD) nên SH là đường cao của hình chóp

Góc giữa SB và (ABCD)  là góc SBH, từ giả thiết ta có \widehat{SBH}=60^{\circ}

Diện tích hình vuông ABCD cạnh a là S_{ABCD}=a^{2}

Xét tam giác AHB vuông tại A, theo định lí Pitago ta có

HB=\sqrt{AB^{2}+AH^{2}}=\sqrt{a^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}

Xét  \Delta SHB vuông tại H có SH=HB.tan\widehat{SBH}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.tan60^{\circ}=\frac{a\sqrt{15}}{2}

 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là V=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{15}}{2}a^{2}=\frac{a^{3}\sqrt{15}}6{}

2) Vì SH vuông (ABCD) => SH vuông HC nên tam giác SHC vuông tại H

Ta lại có HD vuông DC suy ra SD vuông DC do đó \Delta SDC vuông tại D. Gọi O là trung điểm của SC thì OS=OC=OH=OD.

Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.HDC, bán kính mặt cầu R=\frac{SC}{2}

Vì SH vuông (ABCD) mà HB=HC nên SB=SC

Xét \Delta SHB vuông tại H có SB=\frac{HB}{cos60^{\circ}}=2.\frac{a\sqrt{5}}{2}=a\sqrt{5}=SC

Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là R=\frac{a\sqrt{5}}{2}

R=\frac{a\sqrt{5}}{2}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết