Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 36471

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = \frac{x^{3}+y^{3}+2y^{2}-x^{2}+y}{(x-1)y}.

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = \frac{x^{3}+y^{3}+2y^{2}-x^{2}+y}{(x-1)y}.


A.
MinP = 8
B.
MinP = 7
C.
MinP = 6
D.
MinP = 5
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có P = \frac{x^{3}+y^{3}+2y^{2}-x^{2}+y}{(x-1)y} 

= \frac{x^{3}+(y+1)^{3}-[x^{2}+(y+1)^{2}]}{(x-1)y}. Đặt y + 1 = t. Điều kiện: t > 1

P = \frac{x^{3}+t^{3}-(x^{2}+t^{2})}{(x-1)(t-1)}. Đặt a = x + t, điều kiện a > 2

Đồng thời: (x + t)2 = a2 => 4xt ≤ a2⇔ xt ≤ \frac{a^{2}}{4}

=> P = \frac{x^{3}+t^{3}-(x^{2}+t^{2})}{(x-1)(t-1)} = \frac{a^{3}-a^{2}-xt(3a-2)}{xt-a+1}

=> P ≥ \frac{a^{3}-a^{2}-\frac{a^{2}}{4}(3a-2)}{\frac{a^{2}}{4}-a+1} = \frac{a^{2}}{a-2}

Xét hàm số: f(a) = \frac{a^{2}}{a-2}; f'(a) = \frac{a^{2}-4a}{(a-2)^{2}}; f'(a)= 0 ⇔ a = 4 hoặc a = 0 (loại)

Bảng biến thiên: 

Do đó MinP = min f(a)(2;+∞) = 8

Dấu = xảy ra khi  \left\{\begin{matrix} a=4\\ x=t \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1\\ x=2 \end{matrix}\right.

 

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết