Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 10245

Cho x, y , z là các số thực dương thỏa xyz = 1. Chứng minh: \frac{1}{(1+x)^{3}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} +\frac{1}{(1+z)^{2}} ≥ \frac{3}{8}

Cho x, y , z là các số thực dương thỏa xyz = 1. Chứng minh:

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y , z là các số thực dương thỏa xyz = 1. Chứng minh: \frac{1}{(1+x)^{3}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} +\frac{1}{(1+z)^{2}} ≥ \frac{3}{8}


A.
\frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} +\frac{1}{(1+z)^{2}} ≥  \frac{3}{2}.
B.
\frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} +\frac{1}{(1+z)^{2}} ≥  \frac{3}{4}.
C.
\frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} +\frac{1}{(1+z)^{2}} ≥  \frac{1}{2}.
D.
\frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} +\frac{1}{(1+z)^{2}} ≥  \frac{2}{3}.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có \frac{1}{(1+x)^{3}} + \frac{1}{(x+y)^{3}} + \frac{1}{8} ≥ \frac{3}{2}.\frac{1}{(1+x)^{2}}

Tương tự, ta được : 2VT ≥ \frac{3}{2}.[\frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} + \frac{1}{(1+z)^{2}}] – \frac{3}{8}

Do đó ta cần chứng minh \frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{1}{(1+y)^{2}} +\frac{1}{(1+z)^{2}} ≥  \frac{3}{4}(2)

Ta có xyz = 1 nên ta có thể giả thiết xy ≥ 1

Khi đó ta có: \frac{1}{(1+x)^{2}} +\frac{1}{(1+y)^{2}} ≥ \frac{2}{1+xy}(3)

⇔2xy + (x2 + y2)xy ≥ x2 + y2 + 2x2y2

⇔2xy(1 – xy) + (x2 + y2)(xy – 1) ≥ 0

⇔(xy – 1)(x – y)2 ≥ 0 (đúng do xy 1)

Áp dụng (3) ta được

VT(2) ≥ \frac{1}{2(1+x^{2})} + \frac{1}{2(1+y^{2})} + \frac{1}{2(1+z^{2})} (vì 2(1 + x2) ≥ (1 + x2)…)

          ≥ \frac{1}{2}(\frac{2}{1+xy}) = \frac{1}{(1+z)^{2}} (Do (3))

          =\frac{1}{1+\frac{1}{z}} + \frac{1}{(1+z)^{2}} = \frac{z}{z+1} + \frac{1}{(1+z)^{2}} = \frac{z^{2}+z+1}{(z+1)^{2}} = \frac{4z^{2}+4z+4}{4(z+1)^{2}}= \frac{3(z+1)^{2}+(z-1)^{2}}{4(z+1)^{2}}= \frac{3}{4} + \frac{(z-1)^{2}}{(z+1)^{2}} ≥\frac{3}{4}

Vậy (3) đúng =>(1)đúng =>(1) được chứng minh.

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết