Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 34815

Cho x; y; z là 3 số dương thỏa mãn xyz + x + z = y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :  P = \frac{2}{x^{2}+1} - \frac{2}{y^{2}+1} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}

Cho x; y; z là 3 số dương thỏa mãn xyz + x + z = y Tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x; y; z là 3 số dương thỏa mãn xyz + x + z = y

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 

P = \frac{2}{x^{2}+1} - \frac{2}{y^{2}+1} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}


A.
Max (P) = \frac{4}{9} khi x= \frac{\sqrt{2}}{2}; y = √2; z = \frac{\sqrt{2}}{4}
B.
Max (P) = \frac{2}{9} khi x = \frac{\sqrt{2}}{2}; y = √2; z =\frac{\sqrt{2}}{4}
C.
Max (P) = 1 khi x = \frac{\sqrt{2}}{2}; y = √2; z = \frac{\sqrt{2}}{4}
D.
Max (P) = 2 khi x = \frac{\sqrt{2}}{2}; y = √2; z =\frac{\sqrt{2}}{4}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Từ giả thiết ta có x = \frac{y-z}{1+yz} thay vào biểu thức ta có:

P = \frac{2(1+yz)^{2}}{(y^{2}+1)(z^{2}+1)} - \frac{2}{y^{2}+1} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}

P = \frac{2z[2y+(y^{2}-1)z]}{(y^{2}+1)(z^{2}+1)} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}

Áp dụng BĐT (ax + by)2 ≥ (a2  + b2)(x2 + y2) (cần chứng minh)

P ≤ \frac{2z\sqrt{[4y^{2}+(y^{2}-1)^{2}](1+z^{2})}}{(y^{2}+1)(z^{2}+1)} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}

P ≤ \frac{2z}{(z^{2}+1)} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}} 

p ≤ \frac{2z}{(z^{2}+1)} - \frac{4z}{\sqrt{z^{2}+1}} + \frac{3z}{\sqrt{z^{2}+1}} ( 1- \frac{z^{2}}{z^{2}+1} )

= -3t3 + t với t = \frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}} ∈ (0; 1)

Xét hàm số f(t) = -3t3 + t  có max f(t) = f(\frac{1}{3}) = \frac{2}{9}

Vậy GTLN của P bằng \frac{2}{9} khi x = \frac{\sqrt{2}}{2}; y = √2; z = \frac{\sqrt{2}}{4}

Cách Khác .

Đặt x = tan A, y = tan B, z = tan C với A, B, C ∈ (0, \frac{\pi}{2})

Từ giả thiết ta có x = \frac{y-z}{1+ yz} ⇔ tan A = \frac{tanB -tan C}{1+ tanB.tanC}

⇔ tanA = tan(B - C)

⇔ A = B - C + kπ ⇔ A + C - B = kπ

Do - \frac{\pi}{2} < A + C - B < π => A + C - B = 0 ⇔  A - B = -C

Lúc đó

P=\frac{2}{1+ tan^{2}A}-\frac{2}{1+ tan^{2}B}- \frac{4tanC}{\sqrt{1+ tan^{2}C}} + \frac{3tanC}{(1+tan^{2}C)\sqrt{1+ tan^{2}C}}

= 2cos2A – 2cos2B – 4sinC + 3sinC.cos2C

=cos2A – cos2B – 4sinC + 3sinC(1 - sin2C)

=-2sin(A + B)sin(A – B) - sinC -3 sin3C

=2sin(A + B)sinC – sinC – 3sin3C ≤  2sinC – sinC – 3sin3C 

Xét hàm số f(x) = x - 3x3, x = sinC ∈ (0; 1)

f'(x)= 1- 9x2 = 0  ⇔ x= \frac{1}{3}. Lập BBT suy ra Max(0; 1) f(x) = f (\frac{1}{3})= \frac{2}{9}

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết