Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 21272

Cho x và y là hai số thực dương thay đổi sao cho x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=\frac{x}{\sqrt{y^{2}+1}}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+1}}

Cho x và y là hai số thực dương thay đổi sao cho x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của bi

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x và y là hai số thực dương thay đổi sao cho x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=\frac{x}{\sqrt{y^{2}+1}}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+1}}


A.
min P = \frac{1}{\sqrt{5}}
B.
min P = \frac{2}{\sqrt{5}}
C.
min P = \frac{3}{\sqrt{5}}
D.
min P = \frac{4}{\sqrt{5}}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: x+y=1 <=> y=1-x

Thay vào P ta được: P=\frac{x}{\sqrt{(1-x)^{2}+1}}+\frac{1-x}{\sqrt{x^{2}+1}} với 0<x<1

f'(x) = P=\frac{1}{\sqrt{(1-x)^{2}+1}}+\frac{x(1-x)}{\sqrt{[(1-x)^{2}+1]^{3}}}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}-\frac{x(1-x)}{\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}}

Ta có: f'(\frac{1}{2})=0

Với \frac{1}{2} < x < 1 ta có:  0< (1-x)2 + 1 <  x2 +1 nên: \frac{1}{\sqrt{(1-x)^{2}+1}}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}>0 và \frac{x(1-x)}{\sqrt{[(1-x)^{2}+1]^{3}}}-\frac{x(1-x)}{\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}}>0

do đó: f'(x) > 0

Tương tự: 0<x<\frac{1}{2} ta có: f'(x) < 0

Vậy x = \frac{1}{2} là nghiệm duy nhất của f'(x) = 0 trên (0;1)

Ta có bảng biến thiên của f(x) trên (0;1)  (hs tự lập)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra min P = \frac{2}{\sqrt{5}} khi x = y = \frac{1}{2}

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết