Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 42293

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: \frac{(1+i)z}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i} có một acgumen bằng -\frac{\Pi }{6} và │z│=│2\bar{z} - √3 + i│. Tính mô đun của số phức z .

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: có một acgumen bằng  và │z│=│2 - √3 + i│. Tính

Câu hỏi

Nhận biết

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: \frac{(1+i)z}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i} có một acgumen bằng -\frac{\Pi }{6} và │z│=│2\bar{z} - √3 + i│. Tính mô đun của số phức z .


A.
z = √3 + i
B.
z = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}i
C.
z = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{5}i
D.
cả A và B
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: \frac{1+i}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i} 

= \frac{1+i}{(1-\sqrt{3})^{2}+(1+\sqrt{3})^{2}}[(1 - √3) - (1 + √3)i]

= \frac{1-\sqrt{3}i}{4} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\left - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = \frac{1}{2}\left[cos(- \frac{\Pi }{3}) + i.sin(- \frac{\Pi }{3})]

Đặt z = r(cos\varphi + isin\varphi); r > 0

Khi đó: \frac{1+i}{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i}z=\frac{r}{2}\left [ cos\left ( \varphi -\frac{\Pi }{3} \right )+isin\left ( \varphi -\frac{\Pi }{3} \right ) \right ]

Theo đề bài ta có: \varphi -\frac{\Pi }{3}=-\frac{\Pi }{6}\Rightarrow z=\frac{r.\sqrt{3}}{2}+\frac{r}{2}i

Từ giả thiết của bài toán ta có: \left | \frac{r\sqrt{3}}{2}+\frac{r}{2}i \right |=\left | \sqrt{3}r-ri-\sqrt{3}+i \right |

<=> \left ( \frac{\sqrt{3}r}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{r}{2} \right )^{2} = 3.(r  - 1)2 +  (r  - 1)2 <=> \begin{bmatrix} r=2\\ r=\frac{2}{3} \end{matrix} 

Vậy có 2 số phức z = √3 + i hoặc z = \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}i

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết