Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 38094

Cho hình chóp SABCD. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a , AD = 2a. Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB .

Cho hình chóp SABCD. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a ,

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp SABCD. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a ,

AD = 2a. Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Biết góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB .


A.
 VSABCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6} , d(CD;SB) = \frac{2a\sqrt{3}}{10}
B.
 VSABCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{3} , d(CD;SB) = \frac{2a\sqrt{3}}{10}
C.
 VSABCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{6} , d(CD;SB) = \frac{2a\sqrt{3}}{5}
D.
 VSABCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{3} , d(CD;SB) = \frac{2a\sqrt{3}}{5}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi H = AC ∩ BD => SH ⊥ (ABCD) và BH = \frac{1}{3}BD( Do tam giac BCH đồng dạng với tam giác DAH)

Kẻ HE ⊥ AB => AB ⊥ (SHE) => AB vuông với SE

=> góc (( SAB);(ABCD)) = \dpi{80} \widehat{SEH} = 600  

Mà HE = \frac{1}{3}AD = \frac{2a}{3} => SH = \frac{2a\sqrt{3}}{3}

=> VSABCD = \frac{1}{3}.SH.SABCD = \frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}

Gọi O là trung điểm  AD

=> ABCO là hình vuông cạnh a

=> ∆ACD có trung tuyến CO = \frac{1}{2}AD

=>Tam giac ACD vuông taiC => CD ⊥ AC ; Mà CD vuông SH =>CD ⊥ (SAC) 

và BO // CD  hay CD // (SBO)

và BO ⊥ (SAC)  .

d(CD ; SB) = d(CD ;(SBO)) = d( C; (SBO)).

Tính chất trọng tâm tam giác BCO

=> IH = \frac{1}{3}IC = \frac{a\sqrt{2}}{6} => IS = \sqrt{IH^{2}+HS^{2}}=\frac{5a\sqrt{2}}{6}

 

Kẻ CK ⊥ SI  mà CK ⊥ BO => CK ⊥ (SBO) => d(C;(SBO) = CK

Trong tam giác SIC có : SSIC  = \frac{1}{2}SH.IC = \frac{1}{2} SI.CK

=> CK = \frac{SH.IC}{SI}=\frac{2a\sqrt{3}}{5}

Vậy d(CD;SB) = \frac{2a\sqrt{3}}{5}

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết