Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16556

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, BC=a√3. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC=3IC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc với SC.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, BC=a√3. Hai mặt phẳng (SAC)

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, BC=a√3. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC=3IC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc với SC.


A.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{3} và d(AI;SB)= small frac{4a}{sqrt{33}}
B.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{9} và d(AI;SB)= small frac{2a}{sqrt{33}}
C.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{3} và d(AI;SB)= small frac{2a}{sqrt{33}}
D.
VS.ABCD = small frac{a^{3}sqrt{15}}{9} và d(AI;SB)= small frac{4a}{sqrt{33}}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

(hs tự vẽ hình)

Ta có: SABCD = a.a√3 = a2√3   (đvdt)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Theo giả thiết ta có: SO ⊥ (ABCD)

small AC=sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a => OC=a

Mặt khác: AI⊥SC => ∆SOC và ∆AIC đồng dạng

=> small frac{CI}{CO}=frac{CA}{CS}

<=> CI.CS=CO.CA

=> SC=a√6

=> SO=small sqrt{SC^{2}-OC^{2}}=asqrt{5}

VS.ABCD = small frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=frac{1}{3}.asqrt{5}.a^{2}sqrt{3}=frac{a^{3}sqrt{15}}{3} (đvtt)

Qua I kẻ đường thẳng song song với SB cắt BC tại M, suy ra SB//(AIM), do đó

d(SB;AI) = d(SB;(AIM)) = d(B;(AIM)).

Mà: small frac{CI}{CS}=frac{CM}{CB}=> BM=2CM => d(B;(AIM))=2d(C;(AIM))

Hạ IH ⊥ (ABCD) , dễ thấy IH=small frac{SO}{3}

small S_{AMC}=frac{S_{ABCD}}{6} => small V_{IAMC}=frac{1}{18}.V_{ABCD}=a^{3}frac{sqrt{15}}{54}

Ta có: IM=small frac{SB}{3}=frac{SC}{3}=asqrt{frac{2}{3}};AM=sqrt{AB^{2}+BM^{2}}=asqrt{frac{7}{3}}

AI=small sqrt{AC^{2}-CI^{2}}=asqrt{frac{10}{3}}

=> small coswidehat{MAI}=frac{3sqrt{70}}{28}=> sinwidehat{MAI}=frac{sqrt{154}}{28}

=> small S_{AMI}=frac{1}{2}.AM.AI.sinwidehat{MAI}=frac{1}{2}.asqrt{frac{7}{3}}.asqrt{frac{10}{3}}.frac{sqrt{154}}{28}=a^{2}frac{sqrt{55}}{12}

=> d(B;(AIM)) = 2d(C;(AIM)) = 2. small frac{3V_{IAMC}}{S_{AMI}}= small frac{4a}{sqrt{33}}

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết