Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 8511

Cho các số thực dương a, b,c thay đổi luôn thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng : \frac{a^{2}+b}{b+c} + \frac{b^{2}+c}{c+a} + \frac{c^{2}+a}{a+b}≥ 2.

Cho các số thực dương a, b,c thay đổi luôn thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương a, b,c thay đổi luôn thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng : \frac{a^{2}+b}{b+c} + \frac{b^{2}+c}{c+a} + \frac{c^{2}+a}{a+b}≥ 2.


A.
Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = \frac{1}{3}(đpcm)
B.
Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi - a = b = c = \frac{1}{3}(đpcm)
C.
Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = - c = \frac{1}{3}(đpcm)
D.
Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi a = - b = c = \frac{1}{3}(đpcm)
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: \frac{a^{2}+b}{b+c} =  \frac{a(1-b-c)+b}{b+c} = \frac{a+b}{b+c} - a

Tương tự , BĐT đã cho trở thành:

\frac{a+b}{b+c} - a + \frac{b+c}{c+a}  - b + \frac{c+a}{a+b} - c ≥ 2 ⇔\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{c+a} +\frac{c+a}{a+b} ≥ 3

Theo bất đẳng thức Cô – si ta có:

\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{c+a} + \frac{c+a}{a+b} ≥ 3\sqrt[3]{\frac{a+b}{b+c}.\frac{b+c}{c+a}.\frac{c+a}{a+b}} = 3

Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = \frac{1}{3}(đpcm)

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết