Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 5005

Cho các số dương x, y , z và x + y + z ≤ \frac{3}{2}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P  = x + y + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.

Cho các số dương x, y , z và x + y + z ≤

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương x, y , z và x + y + z ≤ \frac{3}{2}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P  = x + y + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.


A.
Pmin = - \frac{15}{2}
B.
Pmin = \frac{15}{4}
C.
Pmin = \frac{15}{2}
D.
Pmin = \frac{15}{6}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước hết dễ dàng chứng minh với mọi x; y ; z mà x, y, z > 0 ta luôn có :

( x + y + z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) ≥ 9 (*). Dấu “=” xảy ra khi : x = y = z.

(*) => ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} ) ≥ \frac{9}{x+y+z}

=> P = x + y + z + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} ≥ x + y + z + \frac{9}{x+y+z}

Đặt  x + y + z = t ( 0< t ≤ \frac{3}{2} ) , xét hàm số : F(t) = t + \frac{9}{t} ∈ ( 0; \frac{3}{2}]

F’(t) = 1 - \frac{9}{t^{2}} => F’(t) = 0 ⇔ t = ± 3; t = ±3  \notin ( 0; \frac{3}{2}]

F(\frac{3}{2}) = \frac{15}{2}.

Vậy Pmin = \frac{15}{2} khi \left\{\begin{matrix}x=y=z\\x+y+z=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.

Câu hỏi liên quan

  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết