Skip to main content

Cho các số dương x, y , z và x + y + z ≤ \frac{3}{2}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P  = x + y + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.

Cho các số dương x, y , z và x + y + z ≤

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số dương x, y , z và x + y + z ≤ \frac{3}{2}. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P  = x + y + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}.


A.
Pmin = - \frac{15}{2}
B.
Pmin\frac{15}{4}
C.
Pmin = \frac{15}{2}
D.
Pmin\frac{15}{6}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước hết dễ dàng chứng minh với mọi x; y ; z mà x, y, z > 0 ta luôn có :

( x + y + z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) ≥ 9 (*). Dấu “=” xảy ra khi : x = y = z.

(*) => ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} ) ≥ \frac{9}{x+y+z}

=> P = x + y + z + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} ≥ x + y + z + \frac{9}{x+y+z}

Đặt  x + y + z = t ( 0< t ≤ \frac{3}{2} ) , xét hàm số : F(t) = t + \frac{9}{t} ∈ ( 0; \frac{3}{2}]

F’(t) = 1 - \frac{9}{t^{2}} => F’(t) = 0 ⇔ t = ± 3; t = ±3  \notin ( 0; \frac{3}{2}]

F(\frac{3}{2}) = \frac{15}{2}.

Vậy Pmin = \frac{15}{2} khi \left\{\begin{matrix}x=y=z\\x+y+z=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.