Cho a, b, c là 3 số thực không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F =(1 + a2) (1 + b2) (1 + c2)
Câu hỏi
Nhận biếtCho a, b, c là 3 số thực không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : F =(1 + a2) (1 + b2) (1 + c2)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Luyện Tập 365
F = (1+ a2)(1+ b2)(1+ c2) = a2 + b2 + c2 + a2b2 + a2c2 + b2c2 + a2b2c2 + 1
=1 – 2(ab + bc + ca) + (ab + bc + ca)2 - 2abc + (abc)2 +1
=(ab + bc + ca - 1)2 + (1 - abc)2 (1)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có :
abc ≤ 
=>( 1 – abc )2 ≥ 
(2)
ab + bc + ca ≤ 
(1 – ab – bc – ca )2 ≥ 
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi <=> a = b = c = 
Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 
F = (1+ a2)(1+ b2)(1+ c2) = a2 + b2 + c2 + a2b2 + a2c2 + b2c2 + a2b2c2 + 1
=1 – 2(ab + bc + ca) + (ab + bc + ca)2 - 2abc + (abc)2 +1
=(ab + bc + ca - 1)2 + (1 - abc)2 (1)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm ta có :
abc ≤ =>( 1 – abc )2 ≥ (2)
ab + bc + ca ≤
(1 – ab – bc – ca )2 ≥ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi <=> a = b = c =
Vậy giá trị nhỏ nhất của F là
Câu hỏi liên quan
-
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d:
=
=
, d':
=
=
và tạo với đường thẳng d một góc 
. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
-
Cho hàm số y =
. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất. -
Cho các số thực x,y thỏa mãn x
+ y
= 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
-12(x-1).(y-1)+√xy. -
Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?
-
Cho hàm số y =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.