Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 9504

Cho x, y là các số dương thỏa mãn  \frac{1}{xy} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = \frac{3y}{x(y+1)}+ \frac{3x}{y(x+1)} + \frac{1}{x+y} - \frac{1}{x^{2}}  - \frac{1}{y^{2}}

Cho x, y là các số dương thỏa mãn

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y là các số dương thỏa mãn  \frac{1}{xy} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = \frac{3y}{x(y+1)}+ \frac{3x}{y(x+1)} + \frac{1}{x+y} - \frac{1}{x^{2}}  - \frac{1}{y^{2}}


A.
Giá trị lớn nhất của M bằng \frac{9}{2} .
B.
Giá trị lớn nhất của M bằng \frac{7}{2} .
C.
Giá trị lớn nhất của M bằng \frac{3}{2} .
D.
Giá trị lớn nhất của M bằng \frac{5}{2} .
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt a = \frac{1}{x}> 0, b = \frac{1}{y} > 0, theo đề bài có:

3 – (a + b) = ab ≤ \frac{(a+b)^{2}}{4}(BĐT Cô – si) kết hợp với a + b > 0 suy ra a + b  ≥ 2

Tìm giá trị lớn nhất của P = \frac{3a}{b+1} + \frac{3b}{a+1} + \frac{ab}{a+b} - a2 – b2 + 3\frac{(a+b)^{2}-2ab+a+b}{ab+a+b+1} - + \frac{ab}{a+b}- (a + b)2 + 2ab = \frac{1}{4}[-(a + b)2 + a + b +\frac{12a}{a+b} + 2]

Đặt t = a + b ≥ 2 xét hàm số: g(t) = -t2 + t + \frac{12}{t} + 2

g’(t) = -2t - \frac{12}{t^{2}}+ 1 < 0, ∀t ≥ 2

Suy ra g(t) nghịch biến trên (2;+ ∞)

Do đó \max_{[2,+]}g(t) = g(2) = 6 suy ra giá trị lớn nhất của M bằng \frac{3}{2} đạt khi a = b = 1⇔ x = y = 1

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết