Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 64661

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C', có cạnh đáy bằng a, gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AA', AB, BC. Biết góc giữa 2 mặt phẳng (C'AI) và (ABC) bằng \dpi{100} 60^{o}. Tính \dpi{100} V_{C'NAI} và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC'

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C', có cạnh đáy bằng a, gọi M, N, I lần lượt là trung

Câu hỏi

Nhận biết

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C', có cạnh đáy bằng a, gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của AA', AB, BC. Biết góc giữa 2 mặt phẳng (C'AI) và (ABC) bằng \dpi{100} 60^{o}. Tính \dpi{100} V_{C'NAI} và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC'


A.
\dpi{100} V_{C'NAI}=\frac{a^{3}}{32}; \dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}=\frac{2a\sqrt{3}}{8}
B.
\dpi{100} V_{C'NAI}= \frac{3a^{3}}{32};\dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}=\frac{a\sqrt{3}}{8}
C.
\dpi{100} V_{C'NAI}=\frac{a^{3}}{32}; \dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}=\frac{a\sqrt{3}}{8}
D.
\dpi{100} V_{C'NAI}= \frac{3a^{3}}{32};\dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}=\frac{2a\sqrt{3}}{8}
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Xét tam giác C'CI vuông tại C: có góc I = \dpi{100} 60^{o}

CI =BC/2 = a/2

=> tan 60 = \dpi{100} \frac{CC'}{CI}

=> CC' = CI .tan 60 = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2} = h

Xét tam giác NAI có: AN = AB/2 =a/2

=> AI = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2}; \dpi{100} \widehat{A}=30^{0}

=> \dpi{100} S_{NAI}=\frac{1}{2}.AN.AI.sin30=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{16}

=> \dpi{100} V_{C'NAI}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}a^{2}}{16}=\frac{a^{3}}{32}

Gọi O là giao điểm cuả AC' và A'C

=> MO = // NI//=AC/2

=> MNIO là hình bình hành => MI //IO

Có IO, AC' \dpi{100} \subset (C'AI)

=>\dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}= d_{MN\rightarrow (C'AI)}=d_{N\rightarrow (C'AI)}

\dpi{100} \frac{d_{N\rightarrow (C'AI)}}{d_{C\rightarrow (C'AI)}}=\frac{GN}{GC}=\frac{1}{2}

=> \dpi{100} d_{N\rightarrow (C'AI)}=\frac{1}{2}d_{C\rightarrow (C'AI)}

- Dựng và tính khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (C'AI)

- Kẻ CK ⊥ AI ( K≡ I )

Kẻ CH ⊥ C'K 

=> \dpi{100} d_{C,(C'AI)}=CH

Xét tam giác vuông C'CI vuông tại C

Có: CC' = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{2}; CI = a/2

=> \dpi{100} \frac{1}{CH^{2}}=\frac{1}{CC'^{2}}+\frac{1}{CI^{2}}=\frac{16}{3a^{2}}

=> \dpi{100} CH = \frac{a\sqrt{3}}{4} = \dpi{100} d_{(C\rightarrow (C'AI))}

=> \dpi{100} d_{N\rightarrow (C'AI)}=\frac{1}{2}d_{C\rightarrow (C'AI)} = \dpi{100} \frac{a\sqrt{3}}{8} 

=> \dpi{100} d_{MN\rightarrow AC'}=\frac{a\sqrt{3}}{8}

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết