Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 62875

(ID : 64570 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a\dpi{100} \sqrt{3}, AD = a. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc \dpi{100} \alpha thỏa mãn \dpi{100} cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{7}}. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB. Biết rằng 2 mặt phẳng (SAB) và (SAD)) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp C.AMN và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BD.

(ID : 64570 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a. Cạnh bên SC

Câu hỏi

Nhận biết

(ID : 64570 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a\dpi{100} \sqrt{3}, AD = a. Cạnh bên SC tạo với đáy một góc \dpi{100} \alpha thỏa mãn \dpi{100} cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{7}}. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và SB. Biết rằng 2 mặt phẳng (SAB) và (SAD)) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp C.AMN và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BD.


A.
\dpi{100} V_{C.AMN}= \frac{a^{3}}{4}; d(AM,BD) = \dpi{100} \frac{2a\sqrt{15}}{5}
B.
\dpi{100} V_{C.AMN}= \frac{a^{3}}{4}; d(AM,BD)= \dpi{100} \frac{a\sqrt{15}}{5}
C.
\dpi{100} V_{C.AMN}= \frac{2a^{3}}{4}; d(AM,BD) = \dpi{100} \frac{2a\sqrt{15}}{5}
D.
\dpi{100} V_{C.AMN}= \frac{2a^{3}}{4}; d(AM,BD)= \dpi{100} \frac{a\sqrt{15}}{5}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì 2 mặt phẳng (SAB) và (SAD)) cùng vuông góc với đáy nên SA ⊥ (ABCD)

Từ đó suy ra \dpi{100} (\widehat{SC,(ABCD))} = \dpi{100} \widehat{SCA} = \dpi{100} \alpha

Ta có: AC = \dpi{100} \sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3a^{2}+a^{2}}=2a

Trong tam giác vuông SAC có SC = \dpi{100} \frac{AC}{cos\alpha }= \dpi{100} a\sqrt{7}

Trong tam giác vuông SAC ta có SA = \dpi{100} \sqrt{SC^{2}-AC^{2}} = \dpi{100} a\sqrt{3}

Từ đó suy ra:

\dpi{100} V_{SABCD}= \frac{1}{3}.a\sqrt{3}.a\sqrt{3}.a=a^{3}

Ta có: \dpi{100} V_{C.AMN}=V_{S.ABCD}-V_{S.CMN}-V_{N.ABC}-V_{MACD}-V_{S.AMN}

 \dpi{100} = V_{S.ABCD}(1-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8})

\dpi{100} = \frac{1}{4}V_{SABCD}

= \dpi{100} \frac{a^{3}}{4}

Tam giác AMN có AN = MN = a; AN = \dpi{100} \frac{a\sqrt{6}}{2}

Nên có diện tích bằng \dpi{100} \frac{a^{2}\sqrt{15}}{8}

=> d(C,(AMN)) = \dpi{100} \frac{3V_{C.AMN}}{S_{AMN}}= \frac{2a\sqrt{15}}{5}

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có:d(AM,BD) = d (BD, (AMN)) = d (O, (AMN)) = 1/2. d(C, (AMN)) = \dpi{100} \frac{a\sqrt{15}}{5}

Câu hỏi liên quan

  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết