Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 46277

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M(\frac{11}{2}, \frac{1}{2}) và đường thẳng AN có phương trình 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M(\frac{11}{2}, \frac{1}{2}) và đường thẳng AN có phương trình 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.


A.
A(4; 5),  A(1; -1)
B.
A(4; 5),  A(1; 1)
C.
A(4;-5),  A(1; -1)
D.
A(-4; 5),  A(1; -1)
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi cạnh hình vuông là a tức AB = BC = CD = DA = a

Trong tam giác vuông AND ta có

AN = \sqrt{AD^2 + DN^2}

DN = \frac{1}{2}CN = \frac{1}{3}DC = \frac{1}{3}a

=> AN = \frac{a\sqrt{10}}{3}

Trong tam giác vuông AMB có BM =  \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a

AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}

Tương tự trong tam giác vuông CMN ta tính được MN = \frac{5a}{6}

Theo định lí hàm số cosin trong tam giác MAN ta có

cosA = \frac{AM^2 + AN^2 - MN^2}{2AM.AN} = \frac{1}{\sqrt{2}} => \widehat{MAN} = 45o

Phương trình đường thẳng AM: ax + by - \frac{11}{2}a -  \frac{1}{2}b = 0 với vecto pháp tuyến \vec{n} = (a; b)

cos\widehat{MAN} = \frac{|2a - b|}{\sqrt{5(a^2 + b^2)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} <=>  3t2 – 8t – 3 = 0 (với t = \frac{a}{b})

<=> t = 3 hoặc t = - \frac{1}{3}

Với t = 3, => tọa độ A là nghiệm của hệ \left \{ \begin{matrix} 2x - y - 3 = 0 & \\ 3x + y - 17 = 0 & \end{matrix} => A(4; 5)

Với t = - \frac{1}{3}, => tọa độ A là nghiệm của hệ \left \{ \begin{matrix} 2x - y - 3 = 0 & \\ x - 3y - 4 = 0 & \end{matrix} => A(1; -1)

Vậy có 2 điểm thỏa mãn A(4; 5) hoặc A(1; -1)

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết