Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 45420

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác ABC, BC = 2a, góc ACB bằng 900, góc ABC bằng 600.Góc giữa cạnh bên CC’ và mặt đáy (ABC) là 450, hình chiếu vuông góc của C’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và cosin của góc giữa hai đường thẳng BC và C’G.

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác ABC, BC

Câu hỏi

Nhận biết

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác ABC, BC = 2a, góc ACB bằng 900, góc ABC bằng 600.Góc giữa cạnh bên CC’ và mặt đáy (ABC) là 450, hình chiếu vuông góc của C’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và cosin của góc giữa hai đường thẳng BC và C’G.


A.
V = 4√5a3 và cos = \frac{1}e_2\sqrt {10}
B.
V = 3√5a3 và cos = \frac{1}e_2\sqrt {10}
C.
V = 2√5a3 và cos =  \frac{1}e_2\sqrt {10}
D.
V = 2√3a3 và cos = \frac{1}e_2\sqrt {10}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Tính được góc \widehat{C'CH} = 450, BC = 2a, AB = 4a, MC = 2a

HC = HC' = a, GH = \frac{a}{3} 

VABCA’B’C = C’H.SABC = a.\frac{1}{2}.AC.CB = 2√3a3 (đvtt)

Có \overrightarrow {B'G} = \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {C'H} + \overrightarrow {HG}

và \overrightarrow{B'C'} ⊥\overrightarrow{C'H} =>\overrightarrow{B'C'}.\overrightarrow{C'H} = 0 ,\overrightarrow{C'H} ⊥\overrightarrow{HG} =>\overrightarrow{C'H} . \overrightarrow{HG} = 0

nên B’G2 = B’C2 + C’H2 + HG2 + 2B’C’.HG.cos(\overrightarrow{B'C'}.\overrightarrow{HG})

Do cos(\overrightarrow{B'C'}.\overrightarrow{HG}) = - cos(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{GH}) = -cos600 = - \frac{1}{2}

=> B’G2 = \frac{40a^{2}}{9}; GC' = \sqrt{HC'^{2}+GH^{2}} = \frac{a\sqrt{10}}3{}

cosB’C’G = \frace_B'C{'^2} + GC{'^2} - B'{G^2}e_2B'C'.GC' = \frac{1}e_2\sqrt {10}

góc giữa BC và C’G bằng góc gữa B’C’ và C’G và có cosin bằng \frac{1}e_2\sqrt {10}

Cách khác:

cos(BC,C'G) = |cos\left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {C'G} } \right)| = \frac{|\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{C'G}|}{CB.CG'}

Tính được C'G = \frac{a\sqrt{10}}{3} và \overrightarrow {C'G} = \overrightarrow {C'H} + \overrightarrow {HG}  = \overrightarrow {C'H} + \frac{1}{6}\overrightarrow {CM} 

= \overrightarrow {C'H} + \frac{1}e_12\overrightarrow {CA} + \frac{1}e_12\overrightarrow {CB}

=>\overrightarrow {C'G}.\overrightarrow {CB} = \frac{1}{2}CB2 = \frac{a^{2}}{3}

=> cos( BC; C'G) = \frac{1}e_2\sqrt {10}

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết