Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 44777

Giải hệ phương trình sau: \left\{\begin{matrix} x^{2}-y-1=2\sqrt{2x-1} & & \\ y^{3}-8x^{3}+3y^{2}+4y-2x+2=0 & & \end{matrix}\right.

Giải hệ phương trình sau:

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình sau: \left\{\begin{matrix} x^{2}-y-1=2\sqrt{2x-1} & & \\ y^{3}-8x^{3}+3y^{2}+4y-2x+2=0 & & \end{matrix}\right.


A.
(x; y) = ( -2 + √2; 3 + 2√2)
B.
(x; y) = ( 2 + √2; 3 + 2√2)
C.
(x; y) = ( 2 - √2; 3 + 2√2)
D.
(x; y) = ( 2 + √2; 3 - 2√2)
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt \left\{\begin{matrix} x^{2}-y-1=2\sqrt{2x-1} \: \: (1)& & \\ y^{3}-8x^{3}+3y^{2}+4y-2x+2=0 \: \: (2)& & \end{matrix}\right.

Điều kiện: x ≥ \frac{1}{2}

Phương trình (2) ⇔ (y + 1)3 + (y + 1) = (2x)3 + 2x

Xét hàm số f(t) = t3 + t có f’(t) = 3t2 + 1 > 0

Suy ra f(t) đồng biến => f(y + 1) = f(2x) ⇔ y = 2x - 1

Thay vào (1) ta được phương trình:

x2 - 2x = 2\sqrt{2x-1} ⇔ (x - 1)2 - 1 = 2\sqrt{2x-1}

Đặt t - 1 = \sqrt{2x-1} (t ≥ 1) ta có hệ:

 \left\{\begin{matrix} (t-1)^{2} =2x-1& & \\ (x-1)^{2}=2t-1 & & \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} t^{2}-2t+2=2x & & \\ x^{2}-2x+2=2t & & \end{matrix}\right.

Trừ vế với vế hai phương trình cho nhau được (t - x)(t + x) = 0 ⇔ \left [\begin{matrix} t=x & & \\ t=-x & & \end{matrix}

* Với t = x

=> x - 1 = \sqrt{2x-1} ⇔ x2 - 4x + 2 = 0 ⇔ x = 2 + √2 = t hoặc

x = 2 - √2 = t (loại)

* Với t = -x => - x - 1 = \sqrt{2x-1} (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = ( 2 + √2; 3 + 2√2)

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết