Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 36023

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x = y + z ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P= \frac{2}{x^{3}}+ \frac{2}{y^{3}}+\frac{2}{z^{3}}+ \frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}}

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x = y + z ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ n

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x = y + z ≤ 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

P= \frac{2}{x^{3}}+ \frac{2}{y^{3}}+\frac{2}{z^{3}}+ \frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}}


A.
Min P =  9 
B.
Min P = 8 
C.
Min P = 7 
D.
Min P = 6 
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: \frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+1 \geq \frac{3}{xy}; \frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}}+1 \geq \frac{3}{yz}; \frac{1}{z^{3}}+\frac{1}{x^{3}}+1 \geq \frac{3}{zx}

Suy ra \frac{2}{x^{3}}+\frac{2}{y^{3}}+\frac{2}{z^{3}}+ 3\geq \frac{3}{xy}+\frac{3}{yz}+\frac{3}{zx}

Suy ra

P + 3 ≥ \frac{3}{xy}+\frac{3}{yz}+\frac{3}{zx}+\frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}}

Mặt khác , áp dụng BĐT \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} với a , b > 0 ta có

P + 3 ≥ \frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+ (\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^{2}-xy+y^{2}})+(\frac{1}{yz}+\frac{1}{y^{2}-yz+z^{2}})+ (\frac{1}{zx}+\frac{1}{z^{2}-zx+x^{2}})

 ≥  \frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{4}{x^{2}+y^{2}}+\frac{4}{y^{2}+z^{2}}+\frac{4}{z^{2}+x^{2}} =4(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}})+4(\frac{1}{2yz}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}})+4(\frac{1}{2zx}+\frac{1}{z^{2}+x^{2}})

≥ \frac{16}{(x+y)^{2}}+\frac{16}{(y+z)^{2}}+\frac{16}{(z+x)^{2}}\geq 16.\frac{3}{\sqrt[3]{(x+y)^{2}(y+z)^{2}(z+x)^{2}}}

≥ 16.\frac{3.9}{(2x+2y+2z)^{2}}\geq 16.\frac{3.9}{4.3^{2}} = 12

Do đó P ≥ 9. Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 9, đạt được khi x = y = z = 1

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết