Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 35045

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  A = (9x + y)(9y + z)(z - \sqrt{zx} + x)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu th

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  A = (9x + y)(9y + z)(z - \sqrt{zx} + x)


A.
Min A = \frac{7^{3}}{4} ⇔  x = \frac{2}{3}, y = 1; z = \frac{3}{2}
B.
Min A = \frac{7^{3}}{4} ⇔  x = 1, y =1, z = \frac{3}{2}
C.
Min A = \frac{7^{3}}{4} ⇔  x = \frac{2}{3}, y = 1, z = 0
D.
Min A = 1 ⇔  x = \frac{2}{3}, y =1; z = \frac{3}{2}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Do xyz = 1 nên 

A = \frac{(9x+y)(9y+z)(z-\sqrt{xz}+x)}{xyz} = (9 + \frac{y}{x})(9 + \frac{z}{y})(1- \sqrt{\frac{x}{z}} + \frac{x}{z} )

= (92+ 9(\frac{y}{x} + \frac{z}{y} )+ \frac{z}{x})(1 - \sqrt{\frac{x}{z}} + \frac{x}{z} ) ≥ (92+ 9.2.\sqrt{\frac{z}{x}} + \frac{z}{x}).

(1 -\sqrt{\frac{x}{z}} + \frac{x}{z})

=(9+\sqrt{\frac{z}{x}})^{2}.(1- \sqrt{\frac{x}{z}} + \frac{x}{z}) do 1- \sqrt{\frac{x}{z}} + \frac{x}{z} > 0

Đặt t = \sqrt{\frac{z}{x}} , t > 0 thì A ≥ f(t) = (9 + t)2 (1 - \frac{1}{t}+ \frac{1}{t^{2}}) > 0

f'(t) = 2(9 + t)(1- \frac{1}{t}+ \frac{1}{t^{2}}) + (9 + t)2 ( \frac{1}{t^{2}} - \frac{2}{t^{3}})

= (\frac{9+ t}{t^{3}})(2t3 - t2 + 9t - 18) = (\frac{9+t}{t^{3}})(2t - 3)(t2 + t + 6)

f'(t) = 0 ⇔ t = \frac{3}{2} 

Lập BBT của f(t) trên khoảng (0;+∞) suy ra min_{(0;+\infty )} f(t)= \frac{7^{3}}{4}

Do đó A ≥ \frac{7^{3}}{4},

Đẳng thức xảy ra ⇔ x = \frac{2}{3}, y = 1; z = \frac{3}{2}

Vậy min A = \frac{7^{3}}{4} ⇔  x = \frac{2}{3}, y = 1, z = \frac{3}{2}

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết