Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 33827

Cho 3 số thực x , y , z thỏa mãn x ≥ y ≥ z > 0 Chứng minh rằng : \frac{x^{2}y}{z} + \frac{y^{2}z}{x} + \frac{z^{2}x}{y} ≥ x2  + y2 + z2

Cho 3 số thực x , y , z thỏa mãn x ≥ y ≥ z > 0 Chứng

Câu hỏi

Nhận biết

Cho 3 số thực x , y , z thỏa mãn x ≥ y ≥ z > 0

Chứng minh rằng : \frac{x^{2}y}{z} + \frac{y^{2}z}{x} + \frac{z^{2}x}{y} ≥ x2  + y2 + z2


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Bất đẳng thức tương đương

\frac{x^{2}y}{z} + \frac{y^{2}z}{x} + \frac{z^{2}x}{y} ≥ x2  + y2 + z2  

⇔ \frac{x^{2}(y-z)}{z} + \frac{y^{2}(z-x)}{x} + \frac{z^{2}(x-y)}{y} ≥ 0

Do  y ≥ z > 0 nên y- z ≥ 0 và \frac{x^{2}(y-z)}{z} ≥ \frac{x^{2}(y-z)}{y}

Do x ≥ y ≥ z > 0 nên z - x ≤ 0 và \frac{y^{2}(z-x)}{x} ≥ \frac{y^{2}(z-x)}{y}

Từ đó : \frac{x^{2}(y-z)}{z} + \frac{y^{2}(z-x)}{x} + \frac{z^{2}(x-y)}{y} ≥\frac{x^{2}(y-z)}{y}+\frac{y^{2}(z-x)}{y} + \frac{z^{2}(x-y)}{y}

Biến đổi x2 (y - z) + y2 (z - x) + z2 (x - y) = ( x2y - xy2) – (x2z – y2z) + z2(x - y) 

= (x - y )(y - z )(x - z ) ≥ 0

(Do  x ≥  y ≥ z )

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết