Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 15918

Cho các số thực x, y  thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).

Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực x, y  thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).


A.
Giá trị nhỏ nhất của A là  frac{17+5sqrt{5}}{4}.
B.
Giá trị nhỏ nhất của A là  frac{17-5sqrt{5}}{4}.
C.
Giá trị nhỏ nhất của A là  frac{-17-5sqrt{5}}{4}.
D.
Giá trị nhỏ nhất của A là  frac{-17+5sqrt{5}}{4}.
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32 ⇔ (x + y)2 – 8(x + y) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x + y ≤ 8.

A = (x + y)3 – 3(x + y) – 6xy + 6 ≥ (x + y)3 – frac{3}{2}(x + y)2 – 3(x + y) + 6.

Xét hàm số: f(t) = t3 – frac{3}{2}t2 – 3t + 6 trên đoạn [0; 8].

Ta có f’(t) = 3t2 – 3t – 3, f’(t) = 0 ⇔ t = frac{1+sqrt{5}}{2} hoặc t = frac{1-sqrt{5}}{2}(loại).

Ta có f(0) = 6, f(frac{1+sqrt{5}}{2}) = frac{17-5sqrt{5}}{4}, f(8) = 398. Suy ra A ≥ frac{17-5sqrt{5}}{4}.

Khi x = y = frac{1+5sqrt{5}}{4} thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là frac{17-5sqrt{5}}{4}.

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết