Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 13874

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3|x-y|+3|y-z|+3|z-x|-sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}}.

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=0. Tìm giá trị nhỏ

Câu hỏi

Nhận biết

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3|x-y|+3|y-z|+3|z-x|-sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}}.


A.
 Pmin=2
B.
 Pmin=3 
C.
 Pmin=4
D.
 Pmin=1
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Trước tiên ta đi chứng mình:

3t ≥t+1, forallt≥0          (*)

Thật vậy, xét hàm số f(t)=3t –t-1 trên tập D=[0;+ ∞) ta có:

f’(t)=3t.lnt-1>0,forallt∈D => hàm số đồng biến trên D

=>f(t) ≥f(0)=0

Bất đẳng thức (*) đúng và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t=0.

Áp dụng (*) ta được:

3|x-y|+3|y-z|+3|z-x| ≥|x-y|+|y-z|+|z-x|+3      (1)

Áp dụng bất đẳng thức |a|+|b|≥|a+b|, ta được:

(|x-y|+|y-z|+|z-x|)2= |x-y|2+|y-z|2+|z-x|2+2|x-y|.|y-z|+2|y-z|.|z-x|+2|x-z|.|x-y|

=|x-y|2+|y-z|2+|z-x|2+|x-y|(|y-z|+|z-x|)+|y-z|(|z-x|+|x-y|)+|z-x|(|x-y|+|y-z|)

≥2(|x-y|2+|y-z|2+|z-x|2)

<=> |x-y|+|y-z|+|z-x| ≥ sqrt{2(|x-y|^{2}+|y-z|^{2}+|z-x|^{2})}

=sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}-2(x+y+z)^{2}}

=sqrt{6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}}  (2)

Từ (1) và (2) suy ra P ≥3, => Pmin=3 đạt được khi:

left{begin{matrix} x-y=y-z=z-x\x+y+z=0 end{matrix}right.<=> x=y=z=0

Câu hỏi liên quan

  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết