Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Tổ Hợp - Xác Suất / Câu hỏi 42265

Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức (C_{n}^{1})^{2}+2(C_{n}^{2})^{2}+3(C_{n}^{3})^{2}+...+(n-1)((C_{n}^{n-1})^{2}+n(C_{n}^{n})^{2}=\frac{n}{2}C_{2n}^{n}

Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức +2+3+...+(n-1)(+n=

Câu hỏi

Nhận biết

Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức

(C_{n}^{1})^{2}+2(C_{n}^{2})^{2}+3(C_{n}^{3})^{2}+...+(n-1)((C_{n}^{n-1})^{2}+n(C_{n}^{n})^{2}=\frac{n}{2}C_{2n}^{n}


A.
Click vào đáp án để xem 
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Đặt S = 0.{\left( {C_n^0} \right)^2} + 1.{\left( {C_n^1} \right)^2} + 2{\left( {C_n^2} \right)^2} + 3{\left( {C_n^3} \right)^2} + ... + \left( {n - 1} \right){\left( {C_n^{n - 1}} \right)^2} + n{\left( {C_n^n} \right)^2}

Ta có 2S =n.\left[ e_{\left( {C_n^0} \right)}^2} + e_\left( {C_n^1} \right)}^2} + e_\left( {C_n^2} \right)}^2} + {{\left( {C_n^3} \right)}^2} + ... + {{\left( {C_n^{n - 1 \right)}^2} + e_\left( {C_n^n} \right)}^2 \right]

Khai triển hai nhị thức (1 + x)n (1 + x)n và (1 + x)2n rồi so sánh hệ số của  xn ta được

{\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + .... + C_n^{n - 1}{x^{n - 1 + C_n^n{x^n}

{\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^n{x^n} + C_n^{n - 1}{x^{n - 1 + C_n^{n - 2}{x^{n - 2}} + .... + C_n^1{x^1} + C_n^0

{\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + x} \right)^n} = ...\left[ e_{\left( {C_n^0} \right)}^2} + e_\left( {C_n^1} \right)}^2} + e_\left( {C_n^2} \right)}^2} + ...{{\left( {C_n^{n - 1 \right)}^2} + e_\left( {C_n^n} \right)}^2 \right]{x^n} + ...,

do C_n^k = C_n^{n - k}

{\left( {1 + x} \right)^{2n = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x + ... + C_{2n}^n{x^n} + .... + C_{2n}^{2n - 1}{x^{2n - 1 + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}

{\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + {\left( {C_n^3} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^{n - 1}} \right)^2} + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết