Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Tổ Hợp - Xác Suất / Câu hỏi 41157

Với mọi n ∈ N; n ≥ 3. Giải phương trình: \frac{1}{C_{3}^{3}} + \frac{1}{C_{4}^{3}} + \frac{1}{C_{5}^{3}} + ..... + \frac{1}{C_{n}^{3}} = \frac{89}{30}

Với mọi n ∈ N; n ≥ 3. Giải phương trình:  +  +  + .....

Câu hỏi

Nhận biết

Với mọi n ∈ N; n ≥ 3.

Giải phương trình: \frac{1}{C_{3}^{3}} + \frac{1}{C_{4}^{3}} + \frac{1}{C_{5}^{3}} + ..... + \frac{1}{C_{n}^{3}} = \frac{89}{30}


A.
n = 10
B.
n = 11
C.
n = 12
D.
n = 13
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có C_{k}^{3} = \frac{k!}{3!(k-3)!} = \frac{k(k-1)(k-2)}{6}

=> \frac{1}{C_{k}^{3}} = \frac{6}{k(k-1)(k-2)} (k ≥ 3)

Ta lại có \frac{1}{(k-1)(k-2)} - \frac{1}{k(k-1)} = \frac{2}{k(k-1)(k-2)}

Đặt f(k) = \frac{1}{(k-1)(k-2)} => \frac{1}{C_{k}^{3}} = 3(f(k) - f(k + 1))

Cho k chạy từ 3 tới n ta được

\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{C_{k}^{3}}= 3(f(3) - f(4)  + f(4) - f(5) + ... - f(n) + f(n) - f(n + 1))

\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{C_{k}^{3}}= 3(f(3) - f(n + 1)) = 3(1 - \frac{1}{n(n-1)})

Hay \frac{1}{C_{3}^{3}} + \frac{1}{C_{4}^{3}} + \frac{1}{C_{5}^{3}} + ..... + \frac{1}{C_{n}^{3}}  = 3(1 - \frac{1}{n(n-1)}) = \frac{89}{30}

<=> (\frac{n^{2}-n-1}{n^{2}-n}) = \frac{89}{30} <=> 90(n2 - n - 1) = 89n2 - 89n

<=> n2 - n - 90 = 0 <=> n = 10

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α)

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết