Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 14572

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip (E): \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip (E):

Câu hỏi

Nhận biết

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip (E): \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.


A.
A(\sqrt{3};\frac{\sqrt{2}}{2}) và B(\sqrt{3};-\frac{\sqrt{2}}{2}) 
B.
A(\sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2}) và B(\sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}) hoặc A(\sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}) và B(\sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2})
C.
A(\sqrt{2};1) và B(\sqrt{2};-1)
D.
A(\sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2}) và B(\sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Với điểm A(x;y), 0<x<2 thuộc (E) thì:

\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1 <=> x2+4y2=4 <=>4y2=4-x2               (*)

Từ giả thiết:

+B có hoành độ dương và tam giác OAB cân tại O nên B(x;-y) và:

AB=\sqrt{(y+y)^{2}}=\sqrt{4y^{2}}=\sqrt{4-x^{2}}

+Với H là trung điểm của AB thì OH ⊥AB và OH=x

Khi đó:

S∆OAB=\frac{1}{2}OH.AB=\frac{1}{2}x.\sqrt{4-x^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{x^{2}(4-x^{2})}≤\frac{1}{2}.\frac{x^{2}+(4-x^{2})}{2}=1

Tức ∆OAB có diện tích lớn nhất bằng 1 và đạt được khi:

x2=4-x2<=> x2=2 <=> x=\sqrt{2} => 4y2=2 <=> y=±\frac{\sqrt{2}}{2}

Vậy ta được:

A(\sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2}) và B(\sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}) hoặc A(\sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}) và B(\sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2})

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết