Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Câu hỏi
Nhận biếtTrong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Luyện Tập 365
Vì BM là đường trung tuyến của tam giác đều ABC cạnh bằng a√6 nên
BM = 
= 
.
Suy ra BB'= 2BM = a√18.
Trong tam giác vuông SBB' (vuông tại B') ta có
SB = 
=
= 3a√3.
Từ ∆HBM 
∆BB'S (g.g) suy ra
= 
=> BH =
= 
= a√3
Suy ra: 
= 
= 
= 
=> d(H,(ABC)) = a
Vậy VH.ABC = .d(H,(ABC)).SABC = .a.
= 
Ta có AC⊥BM và AC⊥SB' nên Ac⊥(SBB') => AC⊥SB.
Theo giả thiết SB⊥MH, do đó SB⊥(AHC).
Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC.
Từ ∆HBM ∆BB'S (g.g) suy ra = 
=> MH = 
= 
= 
Trong tam giác AHC có đường trung tuyến HM bằng một nửa cạnh đối diện (AC = a√6) nên tam giác AHC vuông tại H.
Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 900 .
Vì BM là đường trung tuyến của tam giác đều ABC cạnh bằng a√6 nên
BM = = .
Suy ra BB'= 2BM = a√18.
Trong tam giác vuông SBB' (vuông tại B') ta có
SB = = = 3a√3.
Từ ∆HBM ∆BB'S (g.g) suy ra =
=> BH = = = a√3
Suy ra: = = =
=> d(H,(ABC)) = a
Vậy VH.ABC = .d(H,(ABC)).SABC = .a. =
Ta có AC⊥BM và AC⊥SB' nên Ac⊥(SBB') => AC⊥SB.
Theo giả thiết SB⊥MH, do đó SB⊥(AHC).
Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC.
Từ ∆HBM ∆BB'S (g.g) suy ra =
=> MH = = =
Trong tam giác AHC có đường trung tuyến HM bằng một nửa cạnh đối diện (AC = a√6) nên tam giác AHC vuông tại H.
Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 900 .
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x - y + z - 2 = 0, (β): x + 2y +2z - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α), song song với (β) và cách (β) một khoảng bằng 1.
-
Tìm số phức z thỏa mãn
= √5 và (2 - z)(i + 
) là số ảo. -
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:
, d2: 
= 
= 
. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2. -
Giải hệ phương trình
(x, y
R) -
Giải phương trình:
-
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=
BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. -
Cho các số thực x,y thỏa mãn x
+ y
= 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=
-12(x-1).(y-1)+√xy. -
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).
-
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho tam giác ABC có trung tuyến và phân giác trong kẻ từ cùng một đỉnh B có phương trình lần lượt là d1: 2x + y - 3 = 0, d2: x + y - 2 = 0. Điểm M(2;1) thuộc đường thẳng AB, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng √5. Biết đỉnh A có hoành độ dương, hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.