Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 15353

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1; 1; - 1), B(1; 1; 2), C( - 1; 2; - 2) và mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt BC tại I sao cho IB = 2IC.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1; 1; - 1), B(1; 1; 2), C( -

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1; 1; - 1), B(1; 1; 2), C( - 1; 2; - 2) và mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt BC tại I sao cho IB = 2IC.


A.
Phương trình thỏa mãn đề bài là: - 2x + y + 2z + 3 = 0 hoặc 2x + 3y + 2z + 3 = 0.
B.
Phương trình thỏa mãn đề bài là: - 2x - y + 2z + 3 = 0 hoặc 2x + 3y + 2z – 3 = 0.
C.
Phương trình thỏa mãn đề bài là:  2x + y + 2z + 3 = 0 hoặc 2x + 3y + 2z – 3 = 0.
D.
Phương trình thỏa mãn đề bài là: - 2x + y + 2z + 3 = 0 hoặc 2x + 3y + 2z – 3 = 0.
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Gọi φ là góc tạo bởi BC và mặt phẳng (α) cần viết

=> sinφ = \frac{d(B,(\alpha ))}{IB} = \frac{d(C,(\alpha ))}{IC}

Theo giả thiết IB = 2IC ⇔ \frac{d(B,(\alpha ))}{2IC}= \frac{d(C,(\alpha ))}{IC}⇔  d(B, (α)) = 2d(C, (α))

Gọi \overrightarrow{n_{\alpha }}(a, b, c) (a, b , c   không đồng thời bằng 0)

(α) qua A(1; 1; - 1) => Phương trình: a(x – 1) + b(y – 1) + c(z + 1) = 0 ⇔ ax + by + cz – a – b – c = 0

d(B, (α)) = \frac{|a+b+2c-a-b+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} = \frac{|3c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

d(C, (α)) = \frac{|-a+2b-2c-a-b+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} = \frac{|-2a+b-c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

=> \frac{|3c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} = 2\frac{|-2a+b-c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

⇔ \begin{bmatrix}3c=2(-2a+b-c)\\3c=-2(-2a+b-c)\end{bmatrix}

⇔ \begin{bmatrix}4a-2b+5c=0\\4a-2b-c=0\end{bmatrix} (1)

Do (α) ⊥ (P) ⇔ \overrightarrow{n_{\alpha }}. \overrightarrow{n_p}= 0 ⇔ 1.a + (- 2)b + 2.c = 0 ⇔ a – 2b + 2c = 0  (2)

Từ (1) và (2) => Hệ \begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}a-2b+2c=0\\4a-2b+5c=0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a-2b+2c=0\\4a-2b-c=0 \end{matrix}\right.\end{bmatrix} ⇔ \begin{bmatrix}\left\{\begin{matrix}a=-c\\b=\frac{1}{2}c\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a=c\\b=\frac{3}{2}c \end{matrix}\right.\end{bmatrix}=> \begin{bmatrix}\overrightarrow{n_{\alpha }}=(-c;\frac{1}{2}c;c)\\\overrightarrow{n_{\alpha }}=(c;\frac{3}{2}c;c)\end{bmatrix}

Với \overrightarrow{n_{\alpha }}( - c; \frac{1}{2}c; c) , (α) qua A(1; ;1; -1)

=> Phương trình : - c(x – 1) + \frac{1}{2}c(y – 1) + c(z + 1) = 0

⇔ - (x – 1) + \frac{1}{2}(y – 1) + (z + 1) = 0 ⇔ - 2x + y + 2z + 3 = 0

Với  \overrightarrow{n_{\alpha }}(c; \frac{3}{2}c; c), (α) qua A(1; 1; -1)

=> Phương trình: c(x – 1) + \frac{3}{2}c(y – 1) + c(z + 1) = 0 ⇔ (x – 1) + \frac{3}{2}(y – 1) + (z + 1) = 0 ⇔ 2x + 3y + 2z – 3 = 0

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết