Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3582

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x + 2y + z + 5 = 0, (β): 4x - 3z + 23 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (β) tại A(5;2;1) và cắt (α) theo một đường tròn có diện tích bằng 16π. Biết rằng tâm của mặt cầu (S) có tọa độ nguyên.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x + 2y + z

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x + 2y + z + 5 = 0, (β): 4x - 3z + 23 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (β) tại A(5;2;1) và cắt (α) theo một đường tròn có diện tích bằng 16π. Biết rằng tâm của mặt cầu (S) có tọa độ nguyên.


A.
(S): (x – 1)2 + (y - 2)2 + (z + 2)2 = 30
B.
(S): (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z + 2)2 = 25
C.
(S): (x – 1)2 + (y - 2)2 + (z + 2)2 = 25
D.
(S): (x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 2)2 = 25
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với (β) tại A nên tâm I của mặt cầu (S) nằm trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (β).

Ta có d: \left\{\begin{matrix} x=5+4t\\y=2 \\z=1+3t \end{matrix}\right.

Mặt cầu (S) cắt (α) theo một đường tròn có diện tích là 16π (r = 4) nên bán kính của mặt cầu (S) được tính theo công thức 

R = \sqrt{d^{2}(I,\left ( \alpha \right ))+r^{2}}  = \sqrt{d^{2}\left ( I,\left ( \alpha \right ) \right )+16}

Vì I ∈ d nên I(5 + 4t;2;1 + 3t). Từ giả thiết ta có 

 IA = \sqrt{d^{2}\left ( I,\left ( \alpha \right ) \right )+16} ⇔ (4t)2 + (3t)2 = \frac{\left ( 20+11t \right )^{2}}{9} + 16

⇔ 104t2 – 440t – 544 = 0 ⇔ \begin{bmatrix} t=-1\\t=\frac{68}{13} \end{bmatrix}

Vì I có tọa độ nguyên nên I(1;2;-2), R = IA = 5

Vậy (S): (x – 1)2 + (y - 2)2 + (z + 2)2 = 25

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết