Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Số Phức / Câu hỏi 6037

Trong các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện |z – 2 – 4i| = √5, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất.

Trong các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện |z – 2 – 4i| =√5,

Câu hỏi

Nhận biết

Trong các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện |z – 2 – 4i| = √5, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất.


A.
|z| lớn nhất bằng 3√5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1+2i
B.
|z| lớn nhất bằng √5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng \frac{1}{\sqrt{5}} <=> z = 1+2i
C.
|z| lớn nhất bằng 2√5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1+2i
D.
|z| lớn nhất bằng 3√5 <=> z = 3 + 6i; |z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1-2i
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Theo giả thiết

|z – 2 – 4i| = √5 <=>|(x - 2) + (y - 4)i| = √5

<=> (x – 2)2 + (y – 4)2 = 5 (C)        (1)

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z => M ∈ (C)

Khi đó |z|= OM = \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Cho cát tuyến OAB của (C) và tiếp tuyến OT.

Ta có:

    OA.OB = OT2 = const => OA = \frac{OT^{^{2}}}{OB};

OA nhỏ nhất <=> OB lớn nhất <=> OB đi qua tâm I của (C).

Do vậy |z| lớn nhất khi M ≡ B; |z| nhỏ nhất khi M ≡ A.

Gọi d là đường thẳng đi qua O; I có \overrightarrow{OI}=(2;4) chọn vectơ pháp tuyến của (OI) là (2; -1), khi đó phương trình (OI): 2x - y = 0.

Giao điểm của OI và (C) là nghiệm của hệ phương trình:

  \left\{\begin{matrix} 2x-y=0\\(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=5 \end{matrix}\right. <=> \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=1\\y=2 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x=3\\y=6 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}

Gọi A(1;2) => \overrightarrow{OA}=(1;2) => OA= √5; B(3; 6)

=> \overrightarrow{OB}=(3;6) => OB = 3√5.

Vậy |z| lớn nhất bằng 3√5 <=> z = 3 + 6i;

|z| nhỏ nhất bằng √5 <=> z = 1+2i

Câu hỏi liên quan

  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết