Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Nguyên Hàm, Tích Phân Và Ứng Dụng / Câu hỏi 425

Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

Tính tích phân I=

Câu hỏi

Nhận biết

Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx


A.
I=\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{2}}ln(3-2\sqrt{2})
B.
I=\sqrt{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}ln(3-2\sqrt{2})
C.
I=\sqrt{3}+\frac{1}{2\sqrt{3}}ln(3-2\sqrt{2})
D.
I=\sqrt{2}+\frac{1}{3\sqrt{3}}ln(3-2\sqrt{2})
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{2sinxcosx+2cos^{2}x-1}{sinx+cosx}dx=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{2cosx(sinx+cosx)-1}{sinx+cosx}dx

=2\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}cosxdx-\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dx}{sinx+cosx}=2sinx\begin{vmatrix}\frac{\prod}{4}\\0\end{vmatrix}-\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dx}{sinx+cosx}

=\sqrt{2}-\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dx}{sinx+cosx}

Tính J=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dx}{sinx+cosx}

Ta có J=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dx}{\sqrt{2}cos(x-\frac{\prod}{4})}=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)dx}{\sqrt{2}cos^{2}\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}

=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{dsin\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}{1-sin^{2}\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{0}\frac{dt}{1-t^{2}} , với t=sin(x-\frac{\prod}{4})

=\int_{\frac{-1}{\sqrt{2}}}^{0}\left(\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t-1}\right)dt=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(ln\left|t+1\right|-ln\left|t-1\right|\right)\begin{vmatrix}0\\\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{vmatrix}

=-\frac{1}{2\sqrt{2}}ln(3-2\sqrt{2})

suy ra I=\sqrt{2} +\frac{1}{2\sqrt{2}}ln(3-2\sqrt{2})

Câu hỏi liên quan

  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tính tích phân

    Tính tích phân I = \int_{1}^{e}\frac{\left(1+2x\right)lnx+3}{1+xlnx}dx

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết