Skip to main content

Tìm m để hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x - y\sqrt {y - 1} = 0\\ \sqrt {y + x} - \sqrt {y - x} = m \end{array} \right.\,\, (x, y ∈ R)  có nghiệm.

Tìm m để hệ phương trình  (x, y ∈ R)  có nghiệm.

Câu hỏi

Nhận biết

Tìm m để hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x - y\sqrt {y - 1} = 0\\ \sqrt {y + x} - \sqrt {y - x} = m \end{array} \right.\,\, (x, y ∈ R)  có nghiệm.


A.
m ∈ [0; 5]
B.
m ∈ [0; 1]
C.
m ∈ [0; 3]
D.
m ∈ [0; 4]
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Điều kiện:\left\{ \begin{array}{l} y \ge 1\\ x + y \ge 0\\ y - x \ge 0 \end{array} \right.

hệ phương trình đã cho tương đương với

\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x = {(\sqrt {y - 1} )^3} + \sqrt {y - 1} \,\,(1)\\ \sqrt {y + x} - \sqrt {y - x} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array} \right. (x, y ∈ R)

Xét hàm số f(t) = t3 + t; f’(t) = 3t2 + 1 >0 , ∀t

=> f(t) luôn đồng biến

Mà (1) có: f(x) = $f(\sqrt {y - 1} )$  => (1) <=> x = \sqrt {y - 1} 

<=> \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ y = {x^2} + 1 \end{array} \right.

Thay y vào (2) ta có \sqrt {{x^2} + x + 1} - \sqrt {{x^2} - x + 1} = m(3)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm thoả mãn

x ≥ 0 <=> m thuộc miền giá trị của hàm

g(x) =\sqrt {{x^2} + x + 1} - \sqrt {{x^2} - x + 1} / [0; +∞)

g'(x) = \frac{{2x + 1e_2\sqrt {{x^2} + x + 1}  - \frace_2x - 1e_2\sqrt {{x^2} - x + 1}

g'(x) = 0 < => (2x + 1)\sqrt e_x^2} - x + 1} = (2x - 1)\sqrt {{x^2}+ x + 1} 

<=> (2x + 1)(2x - 1) ≥ 0 và (x + \frac{1}{2})2[(x - \frac{1}{2})2 + \frac{3}{4}] = (x - \frac{1}{2})2[(x + \frac{1}{2})2 + \frac{3}{4}]

  <=> x ∈ Φ

\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }g(x) = 1 lập bảng biến thiên ta được m ∈ [0; 1]

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)