Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 50597

Tìm m để hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x - y\sqrt {y - 1} = 0\\ \sqrt {y + x} - \sqrt {y - x} = m \end{array} \right.\,\, (x, y ∈ R)  có nghiệm.

Tìm m để hệ phương trình  (x, y ∈ R)  có nghiệm.

Câu hỏi

Nhận biết

Tìm m để hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x - y\sqrt {y - 1} = 0\\ \sqrt {y + x} - \sqrt {y - x} = m \end{array} \right.\,\, (x, y ∈ R)  có nghiệm.


A.
m ∈ [0; 5]
B.
m ∈ [0; 1]
C.
m ∈ [0; 3]
D.
m ∈ [0; 4]
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Điều kiện:\left\{ \begin{array}{l} y \ge 1\\ x + y \ge 0\\ y - x \ge 0 \end{array} \right.

hệ phương trình đã cho tương đương với

\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x = {(\sqrt {y - 1} )^3} + \sqrt {y - 1} \,\,(1)\\ \sqrt {y + x} - \sqrt {y - x} = m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array} \right. (x, y ∈ R)

Xét hàm số f(t) = t3 + t; f’(t) = 3t2 + 1 >0 , ∀t

=> f(t) luôn đồng biến

Mà (1) có: f(x) = $f(\sqrt {y - 1} )$  => (1) <=> x = \sqrt {y - 1} 

<=> \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ y = {x^2} + 1 \end{array} \right.

Thay y vào (2) ta có \sqrt {{x^2} + x + 1} - \sqrt {{x^2} - x + 1} = m(3)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm thoả mãn

x ≥ 0 <=> m thuộc miền giá trị của hàm

g(x) =\sqrt {{x^2} + x + 1} - \sqrt {{x^2} - x + 1} / [0; +∞)

g'(x) = \frac{{2x + 1e_2\sqrt {{x^2} + x + 1} - \frace_2x - 1e_2\sqrt {{x^2} - x + 1}

g'(x) = 0 < => (2x + 1)\sqrt e_x^2} - x + 1} = (2x - 1)\sqrt {{x^2}+ x + 1} 

<=> (2x + 1)(2x - 1) ≥ 0 và (x + \frac{1}{2})2[(x - \frac{1}{2})2 + \frac{3}{4}] = (x - \frac{1}{2})2[(x + \frac{1}{2})2 + \frac{3}{4}]

  <=> x ∈ Φ

\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty }g(x) = 1 lập bảng biến thiên ta được m ∈ [0; 1]

Câu hỏi liên quan

  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hai đường thẳng ∆1: 3x+y+5=0, ∆2: x-2y-3=0 và đường tròn (C): (x-3)^{2}+(y+5)^{2}=25. Tìm điểm M thuộc (C), điểm N thuộc đường thẳng ∆1, sao cho M và N đối xứng qua ∆2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3

    Giải phương trình sin2x.(tan x - 1) = 3 sin x.(cos x + sin x) - 3.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết