Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 16715

Rút gọn biểu thức T = left ( frac{2sqrt{a}+sqrt{b}}{sqrt{ab}+2sqrt{a}-sqrt{b}-2}-frac{2-sqrt{ab}}{sqrt{ab}+2sqrt{a}+sqrt{b}+2} right ) với a, b geq 0, aneq 1. Tìm giá trị lớn nhất của T khi a là số tự nhiên và aneq 1.

Rút gọn biểu thức T =

Câu hỏi

Nhận biết

Rút gọn biểu thức
T = left ( frac{2sqrt{a}+sqrt{b}}{sqrt{ab}+2sqrt{a}-sqrt{b}-2}-frac{2-sqrt{ab}}{sqrt{ab}+2sqrt{a}+sqrt{b}+2} right ) với a, b geq 0, aneq 1. Tìm giá trị lớn nhất của T khi a là số tự nhiên và aneq 1.


A.
Giá trị lớn nhất của T là 1
B.
Giá trị lớn nhất của T là 2
C.
Giá trị lớn nhất của T là 3
D.
Giá trị lớn nhất của T là 4
Đáp án đúng: C

Lời giải của Luyện Tập 365

T = left ( frac{2sqrt{a}+sqrt{b}}{sqrt{ab}+2sqrt{a}-sqrt{b}-2}-frac{2-sqrt{ab}}{sqrt{ab}+2sqrt{a}+sqrt{b}+2} right )

=frac{2sqrt{a}+sqrt{b}}{sqrt{a}(sqrt{b}+2)-left ( sqrt{b}+2 right )} - frac{2-sqrt{ab}}{sqrt{a}left ( sqrt{b} right +2)+( sqrt{b} +2)right )}

=frac{2sqrt{a}+sqrt{b}}{left ( sqrt{b}+2 right ) left ( sqrt{a}-1 right )} - frac{2-sqrt{ab}}{left ( sqrt{b}+2 right ) left ( sqrt{a}-1 right )}

=frac{left ( 2sqrt{a} +sqrt{b}right )(sqrt{a}+1)-(2-sqrt{ab})(sqrt{a}-1)}{left ( sqrt{a}+1 right )(sqrt{a}-1)(sqrt{b}+2)}

=frac{2a+2sqrt{a}+sqrt{ab}+sqrt{b}-2sqrt{a}+2+asqrt{b}-sqrt{ab}}{left ( sqrt{a}+1 right )(sqrt{a}-1)(sqrt{b}+2)}

=frac{2a+sqrt{b}+2+asqrt{b}}{left ( sqrt{a}+1 right )(sqrt{a}-1)(sqrt{b}+2)} = frac{2(a+1)+sqrt{b}(a+1)}{(sqrt{a}+1)(sqrt{a}-1)(sqrt{b}+2)}

=frac{(a+1)(sqrt{b}+2)}{(a-1)(sqrt{b}+2)} = frac{(a+1)}{(a-1)}

*) a=0 thì T= -1

*)a neq 0 thì a in N, a neq 1 nên a geq 2 <=> a-1 geq 1

Ta có T= frac{(a+1)}{(a-1)} =1+  frac{2}{a-1} leq 3

Dấu "=" xảy ra <=> a=2

Vậy giá trị lớn nhất của T là 3

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết