Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 40155

ID:41059) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và \widehat{ABC} = 600. Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OA. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi đường thẳng AO và mặt phẳng (SCD).

ID:41059) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và  = 600. Hình

Câu hỏi

Nhận biết

ID:41059)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh 4a và \widehat{ABC} = 600. Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của OA. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và cosin của góc tạo bởi đường thẳng AO và mặt phẳng (SCD).


A.
VS.ABCD = 12√3a3, cos[ AO; (SCD)] = \dpi{80} \frac{3}{4}
B.
VS.ABCD = 2√3a3, cos[ AO; (SCD)] = \dpi{80} \frac{1}{3}
C.
VS.ABCD = a3√3; cos[ AO; (SCD)] = \dpi{80} \frac{1}{3}
D.
VS.ABCD = 3√3a3, cos[ AO; (SCD)] = \dpi{80} \frac{3}{4}
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: SABCD = 2SABC = 4a.4a.sin600 = 8a2√3. Từ giả thiết AH = HO = \dpi{80} \frac{OC}{2}

Trong (ABCD), gọi L là chân đường cao hạ từ O của ∆OCD.

Kẻ KH //OL (K ∈ CD) => HK ⊥ CD (1)

Mà H là hình chiếu của S trên (ABCD) => SH ⊥ CD (2)

Từ (1), (2) => CD ⊥ (SHK)

Do góc giữa (SCD) và (ABCD) là \widehat{SKH} = 600. 

Tam giác OCD vuông tại O có \widehat{OCD} = 600. => OL = OC. sin600 = a√3

 ∆HCK có OL // HK => \dpi{80} \frac{OL}{HK} = \dpi{80} \frac{OC}{HC} = \dpi{80} \frac{2}{3}

=> HK = \frac{3a\sqrt{3}}{2}

∆ SHK vuông tại H => SH = HK. tan600 =  \frac{3a\sqrt{3}}{2} .√3 = \dpi{80} \frac{9a}{2}.

Vậy VS.ABCD = \frac{1}{3}.SH.SABCD = \frac{1}{3}.\dpi{80} \frac{9a}{2}. 8√3a2 = 12√3a3

*Tính góc giữa AO và (SCD).

Nhận thấy góc giữa AO và (SCD) cũng chính là góc giữa HC và (SCD).

Trong (SHK) kẻ HM ⊥ KS (M ∈ SG) => HM ⊥ (SCD) (do CD ⊥ (SHK))

 => M là hình chiếu của H trên (SCD). Mà AO ∩ (SCD) = C

=> MC là hình chiếu của AO trên (SCD).

=> Góc giữa AO và (CSD) là \widehat{HCM}

Tam giác HKM vuông tại M => HM = HK. sin600 = \dpi{80} \frac{9a}{4}

Tam giác HCM vuông tại M => sin\widehat{HCM} = \dpi{80} \frac{HM}{HC} = \dpi{110} \frac{\frac{9a}{4}}{3a} = \dpi{80} \frac{3}{4}

=> cos\widehat{HCM} = \dpi{80} \frac{\sqrt{7}}{4}.

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết