Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Phương Trình, Bất PT Và Hệ PT Đại Số / Câu hỏi 31161

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} (\sqrt{x^{2}+1}-x)(\sqrt{y^{2}+4}+y)=2 & \\ x^{2}-\frac{3}{4}y=\sqrt{x-1} & \end{matrix}\right.(x,y\in \mathbb{R})

Giải hệ phương trình:

Câu hỏi

Nhận biết

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} (\sqrt{x^{2}+1}-x)(\sqrt{y^{2}+4}+y)=2 & \\ x^{2}-\frac{3}{4}y=\sqrt{x-1} & \end{matrix}\right.(x,y\in \mathbb{R})


A.
 x=1; y=4
B.
 x=2; y=4
C.
 x=1; y=3
D.
 x=1; y=2
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

Điều kiện x\geq 1, PT thứ nhất của hệ tương đương với:

(\sqrt{4x^{2}+4}-x)(\sqrt{y^{2}+4}+y)=4\Leftrightarrow \sqrt{(2x)^{2}+4}-(2x)=\frac{4}{\sqrt{y^{2}+4}+y}

=\sqrt{y^{2}+4}-y

Xét hàm số: f(t)=\sqrt{t^{2}+4}-t Ta có:

f'(t)=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+4}}-1=\frac{t-\sqrt{t^{2}+4}}{\sqrt{t^{2}+4}}<\frac{t-\sqrt{t^{2}}}{\sqrt{t^{2}+4}}=\frac{t-\left | t \right |}{\sqrt{t^{2}+4}}\leq 0\forall tDo đó f(t) nghịch biến trên R. Kết hợp với f(2x) = f(y) ta suy ra y=2x

Thay y=2x và phương trình thứ hai của hệ ta được x^{2}-\frac{3}{2}x=\sqrt{x-1}

Đặt v=\sqrt{x-1}\geq 0\Leftrightarrow x=v^{2}+1 ta có PT:

(v^{2}+1)^{2}-\frac{3}{2}(v^{2}+1)=v\Leftrightarrow2v4+v2- 2v- 1=0 \Leftrightarrow (v-1)(2v3+2v2+3v+1)=0 \Leftrightarrow v=1 

hoặc 2v3+2v2+3v+1=0  ( Loại vì v\geq 0\Rightarrow2v3+2v2+3v+1\geq0+0+0+1>0).

Vậy x=2; y=4

Câu hỏi liên quan

  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \left\{\begin{matrix}x=2+t\\y=2+t\\z=3-t\end{matrix}\right., d2: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{5}. Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết