Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39629

Chứng minh rằng a > 0, b > 0, c > 0 thì \frac{1}{\sqrt{a}} +\frac{1}{\sqrt{b}} +\frac{1}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{3}\left ( \frac{1}{\sqrt{a+2b}} +\frac{1}{\sqrt{b+2c}} +\frac{1}{\sqrt{c+2a}} \right )\left \right )

Chứng minh rằng a > 0, b > 0, c > 0 thì + + + +

Câu hỏi

Nhận biết

Chứng minh rằng a > 0, b > 0, c > 0 thì

\frac{1}{\sqrt{a}} +\frac{1}{\sqrt{b}} +\frac{1}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{3}\left ( \frac{1}{\sqrt{a+2b}} +\frac{1}{\sqrt{b+2c}} +\frac{1}{\sqrt{c+2a}} \right )\left \right )


A.
Xem phần lời giải
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

+ Với a > 0, b > 0, c > 0 ta có :

  (1)

\sqrt{a}+2\sqrt{b} =\sqrt{a}+  \sqrt{2}\sqrt{2b} ≤  \sqrt{(1+2)(a+2b)} +\sqrt{3(a+2b)}  (1)

+ Do (\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{2}{\sqrt{b}})(\sqrt{a}+2\sqrt{b}) 

      =(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}})(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) ≥9

nên \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{2}{\sqrt{b}} ≥ \frac{9}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}            (2)

Từ  (1) và (2) ta có :\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{2}{\sqrt{b}} ≥ \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a+2b}}   (3)

(Với a > 0, b > 0, c > 0 )

Áp dụng (3) ta có

\frac{1}{\sqrt{a}} +\frac{1}{\sqrt{b}} +\frac{1}{\sqrt{c}}\geq \sqrt{3}\left ( \frac{1}{\sqrt{a+2b}} +\frac{1}{\sqrt{b+2c}} +\frac{1}{\sqrt{c+2a}} \right )\left \right )(điều phải chứng minh)

Dâu " = " xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Câu hỏi liên quan

  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực.

    Cho hàm số y =x3-6x2+3mx+2, với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=3 (HS tự làm). b) Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực trị A,B thỏa mãn AB=4√65.

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình củ

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương trình của một đường chéo là 3x+y-7=0, điểm B(0;-3), diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

    Chi tiết