Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39935

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 √3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}.

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 √3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 √3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}.


A.
minP = \frac{1}{9}
B.
minP = - \frac{1}{9}
C.
minP = - \frac{10}{9}
D.
minP = \frac{10}{9}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

(xy + yz + zx) ( \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}) ≥ 3\sqrt[3]{x^2 y^2 z^2} . \frac{3}{\sqrt[3]{x^2 y^2 z^2}} = 9

=> \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}  ≥ \frac{9}{xy + yz + zx} .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

Khi đó P ≥ \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{9}{xy + yz + zx}

= \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xy + yz + zx} + \frac{1}{xy + yz + zx} + \frac{7}{xy + yz + zx}

 ≥ \frac{3}{\sqrt[3]{(x^2 + y^2 + z^2)(xy + yz + zx)^2}} + \frac{7}{xy + yz + zx}

Mặt khác 

\sqrt[3]{(x^2 + y^2 + z^2)(xy + yz + zx)^2}  ≤ \frac{x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx}{3} =  \frac{(x+y+z)^{2}}{3} = 9

x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx

<=> x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx ≥ 3xy + 3yz + 3zx

 

<=> (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx)

<=> xy + yz + zx ≤ 9

Vậy p ≥ \frac{3}{9} + \frac{7}{9} = \frac{10}{9}

Vậy minP = \frac{10}{9}.

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = √3.

Câu hỏi liên quan

  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên

    Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên xanh và 7 viên bi vàng. Chọn ra 5 viên bi rừ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà 5 viên bi được chọn không có đủ cả 3 màu?

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết