Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 39935

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 √3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}.

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 √3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 √3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}.


A.
minP = \frac{1}{9}
B.
minP = - \frac{1}{9}
C.
minP = - \frac{10}{9}
D.
minP = \frac{10}{9}
Đáp án đúng: D

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có: áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

(xy + yz + zx) ( \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}) ≥ 3\sqrt[3]{x^2 y^2 z^2} . \frac{3}{\sqrt[3]{x^2 y^2 z^2}} = 9

=> \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz}  ≥ \frac{9}{xy + yz + zx} .

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.

Khi đó P ≥ \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{9}{xy + yz + zx}

= \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{1}{xy + yz + zx} + \frac{1}{xy + yz + zx} + \frac{7}{xy + yz + zx}

 ≥ \frac{3}{\sqrt[3]{(x^2 + y^2 + z^2)(xy + yz + zx)^2}} + \frac{7}{xy + yz + zx}

Mặt khác 

\sqrt[3]{(x^2 + y^2 + z^2)(xy + yz + zx)^2}  ≤ \frac{x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx}{3} =  \frac{(x+y+z)^{2}}{3} = 9

x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx

<=> x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx ≥ 3xy + 3yz + 3zx

 

<=> (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx)

<=> xy + yz + zx ≤ 9

Vậy p ≥ \frac{3}{9} + \frac{7}{9} = \frac{10}{9}

Vậy minP = \frac{10}{9}.

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = √3.

Câu hỏi liên quan

  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn \left|z-\bar{z}+1-i\right| = √5 và (2 - z)(i + \bar{z}) là số ảo.

    Chi tiết
  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{4}}\frac{sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx

    Chi tiết
  • Tìm nghiệm trong khoảng(0,π) của phương trình

    Tìm nghiệm trong khoảng(0, π) của phương trình \frac{sin2x+2cos^{2}x+2sinx+2cosx}{cos\left(x-\frac{\prod}{4}\right)}=\frac{\sqrt{6}cos2x}{sinx}

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình:

    Giải phương trình:log_{2}(4x^{4}-7x^{2}+1)-log_{2}x=log_{4}(2x^{2}-1)^{2}+1

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Cho hàm số y =

    Cho hàm số y = \frac{2x-1}{x-1} a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y = 3x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=

    Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x+y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2y+2} Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
    P=x^{2}+y^{2}+2(x+1)(y+1)+8\sqrt{4-x-y}

    Chi tiết