Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 36471

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = \frac{x^{3}+y^{3}+2y^{2}-x^{2}+y}{(x-1)y}.

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 

Câu hỏi

Nhận biết

Cho x, y ∈ R và x > 1, y > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = \frac{x^{3}+y^{3}+2y^{2}-x^{2}+y}{(x-1)y}.


A.
MinP = 8
B.
MinP = 7
C.
MinP = 6
D.
MinP = 5
Đáp án đúng: A

Lời giải của Luyện Tập 365

Ta có P = \frac{x^{3}+y^{3}+2y^{2}-x^{2}+y}{(x-1)y} 

= \frac{x^{3}+(y+1)^{3}-[x^{2}+(y+1)^{2}]}{(x-1)y}. Đặt y + 1 = t. Điều kiện: t > 1

P = \frac{x^{3}+t^{3}-(x^{2}+t^{2})}{(x-1)(t-1)}. Đặt a = x + t, điều kiện a > 2

Đồng thời: (x + t)2 = a2 => 4xt ≤ a2⇔ xt ≤ \frac{a^{2}}{4}

=> P = \frac{x^{3}+t^{3}-(x^{2}+t^{2})}{(x-1)(t-1)} = \frac{a^{3}-a^{2}-xt(3a-2)}{xt-a+1}

=> P ≥ \frac{a^{3}-a^{2}-\frac{a^{2}}{4}(3a-2)}{\frac{a^{2}}{4}-a+1} = \frac{a^{2}}{a-2}

Xét hàm số: f(a) = \frac{a^{2}}{a-2}; f'(a) = \frac{a^{2}-4a}{(a-2)^{2}}; f'(a)= 0 ⇔ a = 4 hoặc a = 0 (loại)

Bảng biến thiên: 

Do đó MinP = min f(a)(2;+∞) = 8

Dấu = xảy ra khi  \left\{\begin{matrix} a=4\\ x=t \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=1\\ x=2 \end{matrix}\right.

 

Câu hỏi liên quan

  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng&

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P): x+y-z+1=0, cắt các đường thẳng d: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}, d':\frac{x-3}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-2} và tạo với đường thẳng d một góc 30^{0} .

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Cho hàm số. Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho

    Cho hàm số y = \frac{x+1}{x-1}. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho (HS tự làm). b) Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến các đường thẳng ∆1: 2x + y - 4 = 0 và ∆2: x + 2y - 2 = 0 là nhỏ nhất.

    Chi tiết
  • Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện

    Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn điều kiện x3 + y3 + z3= 2 + 3xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 3z2.

    Chi tiết
  • Tìm số phức z thỏa mãn

    Tìm số phức z thỏa mãn (z+i)^{2}+\left|z-2\right|^{2}=2(\bar{z}-3i)^{2} .

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình (1-\sqrt{1-x}).\sqrt[3]{2-x} = x.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳ

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt có phương trình (P): 2x-y-2z=0, d: \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1} Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 4.

    Chi tiết