Skip to main content
/ Luyện Thi Đại Học Môn Toán / Câu hỏi 3916

Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại bàng nhau và bằng 1. Xác định x sao cho thể tích tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất.

Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại bàng nhau và bằng 1. Xác đị

Câu hỏi

Nhận biết

Cho tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại bàng nhau và bằng 1. Xác định x sao cho thể tích tứ diện đã cho đạt giá trị lớn nhất.


A.
 x = \sqrt{\frac{3}{3}}
B.
 x = \sqrt{\frac{3}{2}}
C.
 x = -\sqrt{\frac{3}{2}}
D.
 x = -\sqrt{\frac{3}{3}}
Đáp án đúng: B

Lời giải của Luyện Tập 365

                

Gọi M là trung điểm của AB. Do các tam giác ABD và ABC cân nên:

    AB ⊥ MC, AB ⊥ MD => AB ⊥ (MCD).

Suy ra:VABCD =  VA.MCD  + VB.MCD = \frac{1}{3} AM. SMCD  + \frac{1}{3} BM. SMCD  =  \frac{1}{3} AB. SMCD .

Xét tam giác MCD ta có:

  MC = MD = \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}} =\dpi{100} \sqrt{\frac{4-x^{2}}{4}} .

Gọi H là trung điểm của CD, ta có MH ⊥ CD.

Do đó MH = \sqrt{MC^{2}-CH^{2}} = \dpi{100} \sqrt{\frac{3-x^{2}}{4}}.

\dpi{100} V=\frac{1}{12}x\sqrt{3-x^{2}}

Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có:

   x\sqrt{3-x^{2}} ≤  \frac{x^{2}+3-x^{2}}{2} = \frac{3}{2}

Dấu "="  xảy ra khi và chỉ khi:

       x = \dpi{100} \sqrt{3-x^{2}} ⇔ x = \sqrt{\frac{3}{2}}

Vậy thể tích khối đa diện đã đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

    x = \sqrt{\frac{3}{2}}.

Chú ý: có thể tính thể tích khối đa diện ABCD bằng cách kẻ đường cao DH từ đỉnh D xuống mặt phẳng (ABC)

 

Câu hỏi liên quan

  • Giải hệ phương trình

    Giải hệ phương trình \left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-2x+2y=0\\x^{4}-6x^{2}y-6x^{2}+4y^{2}=0\end{matrix}\right. (x, y\epsilon R)

    Chi tiết
  • Cho các số thực x,y thỏa mãn x

    Cho các số thực x,y thỏa mãn x\sqrt{2-y^{2}} + y\sqrt{2-x^{2}} = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P=(x+y)^{3} -12(x-1).(y-1)+√xy.

    Chi tiết
  • Tìm hệ số củax8 trong khai triển Niutơn của

    Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của \left(1-x^{4}-\frac{1}{x}\right)^{2n}, biết rằng n thỏa mãn A^{2}_{n}.C^{n-1}_{n} = 180. (A^{k}_{n}, C^{k}_{n} lần lượt là số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k của n phần tử).

    Chi tiết
  • Giải phương trình

    Giải phương trình  \frac{tanx+1}{tanx-1}=\frac{1+sin2x}{tanxsin2x}

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C)

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm M(4; -3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x - 2y +1 = 0 với tâm là I. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt P, Q sao cho tam giác IPQ vuông.

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung đ

    Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh bằng a√6. Gọi M là trung điểm của AC và B' là điểm đối xứng với B qua M. Dựng điểm S sao cho SB' =3a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của M lên SB. Tính thể tích khối chóp H.ABC và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

    Chi tiết
  • Tính tích phân I=

    Tính tích phân I=\int_{0}^{\frac{\prod}{2}}sin4xln(1+cos^{2}x)dx

    Chi tiết
  • Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt

    Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O' là tâm của mặt đáy A'B'C'D', điểm M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho BM=\frac{3}{4}BD. Tính thể tích khối tứ diện ABMO' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, O'D. 

    Chi tiết
  • Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có ph

    Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B  là x - 2y - 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.

    Chi tiết
  • Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a.

    Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = 2a. Gọi M là trung điểm của AC. Hình chiếu H của S lên mặt đáy (ABC) thuộc tia đối của tia MB sao cho MB = 2MH. Biết rằng góc giữa SA và mặt đáy (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách từ trung điểm E của SC tới (SAH).

    Chi tiết